плотностьсовместногораспределения компонентвектораХ= (X1,X2…Xn). В силу (3.5) для общего случая n-мерного вектора

плотность n-мерного распределения с независимыми компонентами. Замечание. Если X и Y нормальны, но зависимы, то плотность век-

тора (X,Y) записывается следующим образом: f X ,Y (x, y) = C e−Q(x, y) ,

где С - нормировочная константа; Q - неотрицательно определенная квадратичная форма двух переменных.

Более подробная запись двумерной плотности и свойства двумерного распределения приводятся в [2].

Глава 4. Функции от случайных величин

4.1. Теоремы о математическом ожидании функций

58

Определение. Пусть на вероятностном пространстве {Ω,F,P} заданы случайные величины X(w) и Y(w) и z = ϕ(x,y) - действительная функция от двух переменных. Тогда Z = ϕ(X,Y), при определенных условиях на случайные величины X и Y будет являться случайной величиной, определенной на том же вероятностном пространстве.

Теорема 4.1 (новая формула для математического ожидания).

Пусть X случайная величина дискретного типа с заданным законом распределения. Пусть математическое ожидание M[X] существует.

Известна следующая формула, вытекающая из определения математического ожидания:

k =1

Различие формул (4.1) и (4.2) состоит в том, что в (4.1) возможны повторные значения X(wi).

Разобьем все элементарные исходы на блоки:

Bk = {wi X(wi) = xk, i Ik},

где Ik множество индексов k-го блока.

По правилам теории вероятностей можем записать:

P{X = xk } = P(Bk ) = ∑P(wi ).

i Ik

Преобразуем (4.2) следующим образом:

что и требовалось доказать.

Теорема 4.2 (о математическом ожидании функции). Пусть Х -

СВДТ с заданным законом распределения и Z = ϕ(X) - новая случайная величина, где ϕ(х) - некоторая действительная функция действительной переменной.

59

n

Тогда M [Z ]= ∑ϕ(xk )P{X = xk }.

k =1

Используем разбиение на блоки из теоремы 4.1.

M [Z ]= ∑Z (wi ) P(wi ) = ∑ϕ(X (wi )) P(wi ) = ∑∑ϕ(X (wi )) P(wi ) =

Замечание. Как показывает (4.3), для вычисления математического ожидания от функции Z = ϕ(X,Y) не обязательно знать закон распределения этой новой случайной величины, достаточно знать закон распределения того вектора, от которого она зависит.

Пример 1. На круговом индикаторе цели радиусом а наблюдается световое пятно - отраженный импульс от цели. Будем считать, что на этапе поиска цели пятно появляется наудачу в месте экрана. Найти среднее (по распределению) значение расстояния от центра экрана до светового пятна.

Формализуем задачу: пусть (X,Y) - случайные координаты центра пятна (случайная точка на плоскости). По описанию эксперимента

(X,Y) R (в круге радиусом a)

Нас интересует M[Z], где Z = ϕ(X ,Y ) = X 2 +Y 2 . По формуле (4.3)

60

Замечание. Формула (4.3) позволяет в записи моментов случайного вектора ввести оператор математического ожидания. Например, для начальных моментов СВНТ имеем

αk,s = M [X k Y s ]= {ϕ(x, y) = xk ys }= +∞∫ +∞∫xk ys fX ,Y (x, y)dxdy,

−∞ −∞

что совпадает с определением из параграфа 3.4.

В частности, DX = M [(X − mX )2 ], т.е. дисперсия - математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины.

ковариация, есть математическое ожидание произведения центрированных случайных величин.

4.2. Свойства числовых характеристик случайного вектора

Свойство 1. Линейность математического ожидания.

M [a X + b Y + c]= a M[X ] + b M[Y ] + c.

M [a X + b Y + c]= M[ϕ(X ,Y )] = {ϕ(x, y) = ax + by + c}=

61

= a ∑∑xi pij + b ∑∑y j pij + c ∑∑pij = i j i j i j

= a ∑xi ∑pij +b ∑yi ∑pij + c = a ∑xi pi• +b ∑y j p• j + c =

= a M [X ] + b M[Y ] + c.

Следствия из свойства 1:

1)M[c] = c;

2)M[aX] = aM[X];

3)если X ≥ 0 M[X] ≥ 0 Y ≥ X M[Y] ≥ M[X].

Свойство 2.

D[a X +b Y + c]= a2 D[X ] + b2 D[Y ] + 2 a b KX ,Y .

По новому определению дисперсии:

Следствия из свойства 2:

1)D[aX ] = a2 D[X ] ;

2)D[X] ≥ 0;

3)D[c] = 0;

4)если D[X] = 0 X = const.

Свойство 2 в общей формулировке:

o o

где Ki, j = M[X i Y j ].

62

Определение 1. Случайные величины X и Y называются некорре-

лированными, если KX,Y = 0. Свойство 3.

M[XY] = M[X] M[Y] + KX,Y.

результат. Напрактикеэтосвойствоиспользуется длявычисленияковариации:

K X ,Y = α1,1 − mX mY .

Следствие из свойства 3.

Если KX,Y = 0, то M[XY] = M[X] M[Y].

Замечание. Для большего числа случайных величин ( ≥3) некоррелированности недостаточно для расщепления математического ожидания произведения в произведение математических ожиданий. В этом случае должна выполняться независимость в совокупности.

M[XYZ] = M[X] M[Y] M[Z], если X,Y,Z независимы в совокупности.

Свойство 4. Если X и Y независимы, то D[XY] = D[X] D[Y] +

+ m2X D[Y] + m2Y D[X].

Выразить дисперсии через математическое ожидание и воспользоваться свойствами 1, 3.

Свойство 5. Неравенство Коши-Буняковского:

M 2[XY] ≤ M[X 2] M[Y 2].

Рассмотрим неравенство M[(aX + Y)2] ≥ 0, а R или M[a2X 2+ + 2aXY + Y 2] = {по свойству линейности} = a2M[X 2] + 2aM[XY] + M[Y 2] ≥ 0

дискриминант = 4 M 2[XY] – 4 M[X 2]M[Y 2] ≤ 0 результат.

Следствия из свойства 5:

1) приY ≡ 1 M 2[X] ≤ M[X 2] (илиm2Y ≤ α2): если α2 α1 = mX;

2) если α4, то существуют и α1, α2, α3.

Для доказательства использовать неравенство КошиБуняковского);

3) |КХ,Y| ≤ σXσY

63

стандартизованной случайной величиной, так как M[U] = 0, D[U] = 1, а само преобразование называется преобразованием стандартизации.

Проверим, например, что D[U] = 1.

Свойство 6. Преобразуем случайный вектор (X,Y) в (U,V) по пра-

Следует из определения ρX,Y и следствия 2 из свойства 5.

K X ,Y ≤ σX σY ρX ,Y ≤1 .

64

Обратно. Если ρX ,Y = ±1 Y = aX + b,

где a > 0, если ρX ,Y = +1,

a < 0, если ρX ,Y = −1.

ПустьY = aX + b M[Y] = aM[X] + b, D[Y] = D[aX + b] = a2D[X].

Обратно. Пусть ρX ,Y = +1. Перейдем от (X,Y) к (U,V) путем преобразования стандартизации рассмотрим D[U −V ] = D[U ] + D[V ] − 2KU ,V =

=1+1− 2 ρU ,V σU σV = 2 − 2 = 0 . Так как D[U – V] = 0, то согласно следствию 4 из свойства 2 U – V = const = c.

Случай ρX ,Y = −1 рассматривается аналогично.

Пример 2. Пусть Y = –3X + 1. Вычислить ρX,Y.

Ответ: ρX,Y = –1.

Свойство 9. Из независимости X и Y следует некоррелированность

X и Y.

Пусть X и Y СВНТ и независимы fX ,Y (x, y) = f X (x) fY ( y)

65