Министерство образования Российской Федерации Московский государственный институт электронной техники (Технический университет)

В.Н.Земсков

Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Утверждено редакционно-издательским советом института (в качестве учебного пособия)

Москва 2002

ББК 22.17 З55

УДК 519.21

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, проф. Б.И.Седунов, канд. техн. наук, доц. Б.Ф.Тринчук

Земсков В.Н.

З55 Лекции по теории вероятностей и математической статистике. -

М.: МИЭТ, 2002. - 152 с.: ил.

ISBN 5-7256-0277-X

Настоящее учебное пособие представляет собой аутентичное воспроизведение курса лекций, читаемых автором в течение ряда лет на 3 курсе факультета МП и ТК МИЭТ. Данный курс, включающий в себя 26 лекций по теории вероятностей и математической статистике, соответствует углубленной программе для технических вузов, рассчитанной на 102 часа, из которых половина отводится на лекции и половина - на практические занятия и лабораторные работы. Особенностью курса является большое количество примеров с решениями, иллюстрирующих все основные положения теории. Впрактическом отношении изложение ориентировано на "Сборник задач по математике для вузов: Ч. 3. Теория вероятностей иматематическая статистика" / Под ред. А.В.Ефимова (2-е изд. - М.: Наука, 1990) и существующие пакеты статистической обработки информации на IBM PC. Пособиепредназначено длястудентовтехнических университетов.

Земсков Владимир Николаевич

Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Редактор Л.М.Рогачева. Технический редактор Л.Г.Лосякова. Компьютерная верстка М.В.Гергель.

ЛР № 020516 от 12.05.97. Подписано в печать с оригинала-макета 08.02.02. Формат 60×84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 8,82. Уч-изд. л. 7,6. Тираж 400 экз. Заказ 74.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ. 103498, Москва, МИЭТ.

ISBN 5-7256-0277-X МИЭТ, 2002

ВВЕДЕНИЕ В ТЕМУ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ"

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая модели опытов со случайными исходами. Каждому возможному результату опыта ставится в соответствие определенное число, выражающее меру объективной возможности его появления - вероятность. Практически вероятность каждого возможного результата опыта проявляется с той частотой, с которой он появляется при массовых повторениях опыта. Теория вероятностей разрабатывает методы вычисления вероятностей сложных результатов опыта по известным вероятностям более простых исходов, что создает возможность для анализа и выявления стохастических закономерностей в случайных явлениях. Подобно тому, как математический анализ является основным математическим аппаратом при изучении динамических закономерностей, теория вероятности представляет собой наиболее подходящий инструмент при исследовании процессов, испытывающих большее или меньшее влияние случайных воздействий.

Теория вероятностей - одно из самых молодых направлений математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с изучения теории азартных игр в переписке Б.Паскаля и П.Ферма в 1654 г. и получило продолжение в трудах Х.Гюйгенса (1629 - 1695) и Я.Бернулли (1654 - 1705). Дальнейшее развитие теория вероятности получила в конце XVIII - начале XIX веков благодаря работам П.Лапласа (1781 - 1827), К.Гаусса

(1777 - 1855) и С.Пуассона (1781 - 1840), а в ХХ веке -

в трудах замечательных представителей русской школы математиков А.Я.Хинчина (1894 - 1959), Б.В.Гнеденко (род. в 1912), А.Н.Колмогорова (род. в 1903) и др. Подробно с вкладом каждого из ученых в теорию вероятности можно ознакомиться по цитируемой литературе [1, 3, 4].

Современное построение теории вероятностей как аксиоматической науки было осуществлено в 1933 г. советским математиком А.Н.Колмогоровым. Аксиоматика теории вероятностей строится на теоретико-множественной основе. Случайные события рассматриваются как некоторые множества, а соответствующие им вероятности являются мерой. Такой подход позволил охватить не только все классические разделы теории вероятностей, но и создать основу для развития ее

3

новых разделов, вызванных запросами естествознания, и тем самым существенно расширить сферу применения теории вероятностей. В связи с этим следует отметить, что стремительное развитие в начале ХХ века таких дисциплин, как молекулярная физика и квантовая механика, связано не с появлением представлений об атомарной структуре вещества (эти представления возникли еще в глубокой древности), а с применениемматематическойтеориирасчетавероятностейразличных состояний.

Современная генетика и биология не получили бы своего развития без использования вероятностно-статистических представлений. Попытка игнорирования биологами вероятностных закономерностей в недалеком прошлом наносила серьезный вред развитию науки и практической деятельности агрономов, животноводов и лесоводов.

В настоящее время теория вероятностей как наука завоевывает все большую и большую сферу приложений. Появились новые ветви науки прикладной математики, такие как теория информации, теория надежности, теория массового обслуживания, теория операций, теория игр, теория управления запасами и т.д. Методы теории вероятностей и математической статистики начинают все больше использоваться в медицине (задачи диагностики и расшифровки ЭКГ, установление эффективности того или иного лекарства). Усиление проникновения вероятностных идей объясняется тем, что вероятностные модели более адекватно, нежели детерминированные, описывают окружающий нас мир. Следует отметить, что такое развитие событий предвидел Пьер Симон де Лаплас, когда в своей основополагающей работе "Аналитическая теория вероятностей", опубликованной в 1812 г., писал следующее: "Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. …Ведь большей частью важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей".

4

Глава 1 Случайные события

1.1. Вводные понятия

Теория вероятностей изучает случайные явления окружающего мира не непосредственно, а с помощью идеализированных математических моделей случайных экспериментов.

Всякий случайный эксперимент (испытание, опыт) заключается в осуществлении некоторого вполне определенного комплекса условий S и наблюдении результата. Примеры опытов:

1)подбрасывание наугад правильной шестигранной игральной

кости;

2)извлечение наудачу детали для контроля из большой партии деталей, изготовленной автоматической линией;

3)эксплуатация данного радиотехнического устройства в определенных условиях до момента его отказа;

4)радиолокационное обнаружение воздушной цели.

Любой наблюдаемый результат опыта интерпретируется как случайный исход (случайное событие). При этом под наблюдаемым результатом понимается всякий результат опыта, который может быть зарегистрирован с помощью того или иного прибора. Событие можетпроизойти, а может и не произойти в результате эксперимента.

Определение. Исход опыта ≡ наблюдаемый результат, т.е. такой результат, который может быть зафиксирован с помощью того или иного прибора.

Пример. Эксперимент - извлечение наудачу детали для контроля из большой партии деталей. Наблюдаемый результат - наличие брака того или иного сорта.

Каждому эксперименту Э ставится в соответствие множество элементарных исходов Ω: Э→Ω. Под этим понимают множество взаимоисключающих исходов, таких, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход.

5

Определение 1. Любое подмножество множества элементарных исходов Ω называется случайным событием (может оказаться и ненаблюдаемым).

Определение 2. Поле событий - совокупность (система) наблюдаемых событий ≡ система подмножеств из множества элементарных исходов наблюдаемых событий.

Определение 3. Событие, совпадающее с пустым множеством , называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством Ω, - достоверным событием.

Определение 4. Говорят, что событие А произошло (наступило,

реализовалось), если результатом эксперимента явился какой-либо из элементарных исходов из множества А.

События подразделяются на совместные и несовместные. Определение 5. Любые два события, которые могут (не могут) од-

новременно являться результатом эксперимента, называются совмест-

ными (несовместными).

Любые два события, имеющие общие элементы, являются совместными.

Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя:

1)конструирование множества элементарных исходов Ω;

2)описание поля событий;

3)задание вероятностного распределения в поле событий. Понятия, связанные с пп. 2 и 3, будут определены в § 1.3. Конст-

руирование множества Ω , если оно не задано при описании эксперимента, осуществляется неоднозначно и зависит от набора интересующих нас наблюдаемых событий. Для уяснения основных понятий следует рассмотреть примеры 1 - 3 на с. 10 в [2] и решить ряд задач, напри-

мер, 14.2, 14.3, 14.5, 14.6 и 14.8.

1.2.Алгебра событий

Воснове аксиоматики лежит определение вероятности как определенной числовой меры над множествами-событиями. Для того чтобы такая мера существовала, необходимо потребовать, чтобы под-

множества из Ω были измеримы. Во многих случаях, когда множество Ω имеет сложную структуру (например, множество типа континуум), класс всех подмножеств множества Ω оказывается слишком ши-

6

роким, чтобы можно было гарантировать измеримость любого элемента подобного класса. Поэтому необходимо ограничить множество всех подмножеств до более узкого класса измеримых подмножеств.

Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями могут осуществляться все операции, выполнимые над множествами. В табл.1.1 определены и проиллюстрированы основные операции и отношения между событиями.

Таблица 1.1

Операции

7

Пример 1. Пусть А, В - наблюдаемые события (А,В Ω ). Тогда

(А – В) + В ≠ А.

Поясним пример диаграммой Венна. На диаграмме изображены события A и В "в общей позиции". Легко видеть, что (A – B) + B = A + B.

Пример 2. Пусть событие А влечет за собой событие В, тогда

(А – В) + В = В.

На диаграмме Венна изображены события А и В в указанном отношении.

Отметим некоторые простейшие следствия из введенных операций.

Следствие 1. Пусть А = {w1, w2 ,…wm} Ω, тогда А = w1 + w2+…+wm

(любое событие есть сумма составляющих его элементарных исходов). Следствие 2. Пусть А,В Ω и АВ = A и В несовместны. Седствие 3. А+ A = Ω (из определения противоположного собы-

тия). Однако если, например, А+ В= Ω, тоотсюда неследует, чтоВ= A . Следствие 4. Простейшие законы поглощения:

А + А = А, АА = А, А = , А + = А, А Ω = А, А + Ω = Ω.

9

Справедливоиобратное: излюбогоравенствав(1.1) следует, чтоА В. Следствие 6. Правила де Моргана:

а) A + B = A B (отрицание суммыестьпроизведениеотрицаний);

б) AB = A + B (отрицание произведения есть сумма отрицаний: хотя бы одно из событий не происходит).

Это правило можно распространить и на большее число событий, например:

A + B +C = (A + B) +C = (A + B) C = A B C .

Следствие 7. Всякое событие рассматривается в двух аспектах: в логическом и алгебраическом. При этом сначала событие формулируется логически, затем вводится алгебра, далее применяются правила вероятности.

Пример 4. (Опыты до первого успеха). Производятся последова-

тельные выстрелы по мишени до первого попадания. Событие А = {при-

дется производить третий выстрел}. Сконструировать в алгебре событий множества Ω и А.

Обозначим Сk = {попадание при k-м выстреле}:

Ω ={C1, C1C2,C1C2C3,... };

А = { C1C2C3 +C1C2 C3C4 +... };

A = C1 +C1C2 (дополнение А до всего Ω);

A= A = C1 +C1C2 = C1 (C1C2 ) = C1(C1 +C2 ) = C1C1 +C1C2 =

=C1C2 A = C1C2 .

1.3.Аксиомы теории вероятностей и следствия из

них

Вероятность строится как определенная числовая мера над множе- ствами-событиями.

Определение 1. Система F подмножеств из Ω, удовлетворяющая условиям:

1) Ω F ( Ω - элемент этой системы F);

10

2) A, B F => A+B F, AB F, A и B F,

называется алгеброй. Если условие 2 выполняется для счетного числа событий, то такая система называется σ-алгеброй.

Определение 2. Наблюдаемым событием называется такое под-

множество из Ω , которое одновременно является элементом из F. Поле событий является алгеброй.

Определение 3. Вероятностью события A называется числовая функция P(A), определенная на алгебре событий F, такая, что выполняются следующие 3 аксиомы:

Аксиома 1. P(A) ≥ 0.

Аксиома 2. P(Ω) = 1.

Аксиома 3. Для любых A1, A2, A3,….. An , таких что AiAj = 0, i ≠ j

(попарно несовместных), выполняется условие: P(A1+A2+…..+An) = = P(A1) + P(A2) +.....+ P(An) (аксиома аддитивности).

Замечание. Если аксиома 3 выполняется для счетного числа событий, то она называется аксиомой σ-аддитивности.

Определение 4. Тройку {Ω, F, P} называют вероятностным про-

странством для данного случайного эксперимента.

Построение вероятностного пространства равносильно математической формализации эксперимента. Наиболее ее трудной частью является задание вероятностного распределения на поле событий (Р). Аксиомы вероятности определяют лишь свойства числовой функции Р(А) и ничего не говорят о том, какие именно значения вероятности следует приписать тем или иным исходам эксперимента. Моделирование случайного эксперимента - задача, выходящая за рамки теории вероятностей. Обычно ее решают методами математической статистики.

Однако во многих случаях вероятностное пространство может быть построено на основе проведения аналогии между описываемым экспериментом и какой-либо хорошо изученной моделью случайного эксперимента с известным распределением вероятности. Подобным образом, например, строится вероятностное пространство для так называемой классической схемы, которая подробно рассматривается далее:

Из аксиом вероятности вытекает ряд следствий.

1) P( ) = 0 (вероятность невозможного события = 0). Заметим, что невозможное событие обязательно принадлежит алгебре).

+ Ω = Ω сумма несовместных событий (по аксио-

мам 2, 3) P( ) = 0. 2) P(A) = 1 – P(А).

11