Глава 1. Случайные события
§1.1 Вводные понятия
Теория вероятностей изучает случайные явления окружающего мира
не посредственно, а с помощью идеализированных математических моделей случайных экспериментов.
Всякий случайный эксперимент (испытание, опыт) состоит в осуществлении некоторого вполне определенного комплекса условий S и наблюдений результата. Примеры опытов:
-
Подбрасывание наугад правильной шестиугольной игральной кости.
-
Извлечение наудачу делали для контроля из большой партии деталей, изготовленной автоматической линией.
-
Эксплуатация данного радиотехнического устройства в определенных условиях до момента его отказа.
-
Радиолокационное обнаружение воздушной цели.
Любой наблюдаемый результат опыта интерпретируется как случайный ход
(случайное событие). При этом наблюдаемым результатом понимается всякий результат опыта, который может быть зарегистрирован с помощью того или иного прибора. Событие может произойти, а может и не произойти в результате эксперимента.
Определение. Исход опыта наблюдаемый результат, т.е. такой результат, может быть зафиксирован с помощью того или иного прибора.
Пример. Эксперимент: извлечение наудачу детали для контроля из большой партии деталей. Наблюдаемый результат - наличие брака того или иного сорта
Каждому эксперименту (Э) ставится в соответствие множество элементарных исходов () Э. Под этим понимают множество взаимоисключающих исходов, таких, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход.
Определение. Любое подмножество множества элементарных исходов называется случайным событием (может оказаться и ненаблюдаемым)
Определение. Поле событий — совокупность (система) наблюдаемых событийсистема подмножеств из множества элементарных исходов наблюдаемых событий.
Определение. Событие, совпадающее с пустым множеством , называется независимым событием, а события, совпадающие со всем множеством - достоверным событием.
Определение. Говорят, что событие А произошло (наступило, реализовалось), если результатом эксперимента явился какой-либо из элементарных исходов из множества А.
События подразделяются на совместные и несовместные
Определение. Любые два события, которые могут (не могут) одновременно являться результатом эксперимента, называются совместными (несовместными).
Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя:
-
Конструирование множества элементарных исходов ;
-
Описание поля событий;
-
Задание вероятностного распределения на ??? событий.
Любые 2 события, имеющие общие элементы, являются совместными.
Понятия, связанные с пунктами 2 и 3, будут определены в § ___. Конструирование множества , если оно не задано при описании эксперимента, осуществляется неоднозначно и зависит от набора интересующих нас наблюдаемых событий. Для уяснения основных понятий следует примеры 1.3 на странице ____ в [ ] и решить ряд задач, например, 1.2, 1.2, 1.5, 1.6 и 1.8.
§1.2 Алгебра событий
Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями могут осуществляться все операции, выполнимые над множествами. В частности, определены следующие операции и отношения между событиями:
Наименование операции |
Для множеств |
Для событий |
Диаграмма Венна |
1) АВ (отношение следования) |
Множество А является подмножеством множества В |
Событие А влечет за собой событие В |
|
2) А=В (эквивалентность) |
Множество А эквивалентно множеству В (A B и В А) |
События А и В тождественны, неотличимы |
|
3) А+В - сумма
|
АВ Множество А объединяется со множеством В |
Сумма событий - происходит хотя бы одно из указанных событий А или В |
|
4) АВ – произведение |
A B Пресечение множеств А и В |
Произведение событий - новое событие, состоящее в том, что произошло сразу и событие А и событие В |
|
5) А-В - hfpyjcnm |
Все элементы принадлежат множеству А, но не принадлежат В |
Разность cобытий -произошло событие А, но не произошло В |
|
6) |
( \ А) |
Событие не происходит |
Свойства операций сложения и умножения:
1) Коммутативность
А+В=В+А
АВ=ВА
2) Ассоциативность
(А+В)+С=А+(В+С)
(АВ)С=А(ВС)
3) Дистрибутивность
а) умножения относительно сложения
(А+В)С=АС+ВС
б) сложения относительно умножения
АВ+С=(А+С)(В+С)
Для событий операции сложения и умножения имеют одинаковый ранг.
Утверждение. Разность событий не является ассоциативной. Поясним это примером.
Пример 1. Пусть А, В - наблюдаемые события (А,В ). Тогда (А-В)+В А.
Поясним пример диаграммой Венна. На диаграмме изображены события A и В "в общей позиции". Легко видеть, что
А+ВА |
Пример 2. Пусть событие А влечет за собой событие В, тогда (А-В)+В=В
На диаграмме Венна изображены события А и В в указанном отношении.
Заметим, что А-В=, в силу отношения разности событий; отсюда +B=B |
Пример 3: Пусть событие B влечет за собой событие A, тогда (А-В)+В=А
Использовать диаграмму Венна |
|
Отметим еще некоторые простейшие следствия из введенных операций.
Следствие 1. Пусть А={w1, w2 ,…wm) , тогда А= w1+ w2+…+wm (любое событие есть сумма составляющих его элементарных исходов).
Следствие 2. Пусть А,В и АВ= A и В - несовместны.
Следствие 3. А+ = (из определения противоположного события). Однако, если например, А+В= , то отсюда не следует, что В=
Следствие 4. Простейшие законы поглощения:
А+А=А, АА=А, А=, А+=А, А =А, А+ = ,
Следствие 5. Более общие законы поглощения
А В => АВ=А, А+В=В (1)
Справедливо и обратное: из любого равенства в (1) немедленно следует, что
А В
Следствие 6. Правила де Моргана
а) = (отрицание суммы есть произведение отрицаний);
б) = + (отрицание произведения есть сумма отрицаний: хотя бы одно из событий не происходит);
Это правило можно распространить и на большее число событий, например:
===
Следствие 7. Всякое событие рассматривается в двух аспектах: в логическом и алгебраическом. При этом сначала событие формулируется логически, затем вводится алгебра, далее применяются правила вероятности.
Пример 4. Опыты до первого успеха. Производятся последовательные выстрелы по мишени до первого попадания. Событие А={придется производить третий выстрел}. Сконструировать в алгебре событий множества и А.
Обозначим Ск={попадание при k-м выстреле}
={C1, }
А={}
= (дополнение А до всего )
=
=