Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МатМод2Г / Самостоятельно / Примеры построения интерполяционных многочленов

.doc
Скачиваний:
28
Добавлен:
18.04.2015
Размер:
173.06 Кб
Скачать

Примеры построения интерполяционных многочленов

Пример 1.

Пусть функция f(x) задана таблицей

k

0

1

2

3

xk

2

0

1

2

yk=f(xk)

8

2

2

4

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.

Число узлов интерполяции n1 равно 4. Значит интерполяционный многочлен, построенный по этим узлам, будет иметь степень n не выше 3, и найти его можно по формуле:

.

В данном случае

.

Таким образом,

L3(x)=2x3x25x2.

Построим для заданной выше функции интерполяционный многочлен Ньютона интерполированием вперед, то есть по формуле:

N3(x)=f(x0)(xx0)f(x0,x1)(xx0)(xx1)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1)(xx2)f(x0,x1,x2,x3).

Вычислим разделенные разности

, m=1,2,3; .

Вычисления проведем в таблице:

k

xk

yk=f(xk)

f(xk,xk1)

f(xk,xk1,xk2)

f(xk,xk1,xk2,xk3)

0

2

8

1

0

2

2

1

2

3

2

4

Итак, в данном случае

N3(x)=85(x2)3(x2)x2(x2)x(x1)= =2x3+(32(21))x2(5322(2))x+(852).

Таким образом,

N3(x)=2x3x25x2.

Построим для заданной выше функции интерполяционный многочлен Ньютона интерполированием назад, то есть по формуле:

N3(x)=f(x3)(xx3)f(x3,x2)(xx3)(xx2)f(x3,x2,x1)(xx3)(xx2)(xx1)f(x3,x2,x1,x0).

Вычислим разделенные разности

, m=1,2,3; .

Вычисления проведем в таблице:

k

xk

yk=f(xk)

f(xk,xk1)

f(xk,xk1,xk2)

f(xk,xk1,xk2,xk3)

0

2

8

1

0

2

2

1

2

3

2

4

Итак, в данном случае

N3(x)=46(x2)5(x2)(x1)2(x2)(x1)x= =2x3(52(21))x2(65(21)22)x+(46(2)52).

Таким образом,

N3(x)=2x3x25x2.

Убедимся, что полученный многочлен P3(x)=2x3x25x2 является интерполяционным для заданной выше функции, построенным по заданным узлам:

P3(2)=2(2)3(2)25(2)2=164102=8,

P3(0)=20302502=2,

P3(1)=21312512=2152=2,

P3(2)=22322522=164102=4.

Пример 2.

Пусть функция f(x) задана таблицей

k

0

1

2

3

xk

2

0

2

4

yk=f(xk)

7

1

11

11

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.

Число узлов интерполяции n1 равно 4. Значит интерполяционный многочлен, построенный по этим узлам, будет иметь степень n не выше 3, и, так как таблица равномерная, то есть xk1xk=h=2, k=0,1,2, то найти его можно по формуле:

, где .

В данном случае

.

Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням имеет вид:

L3(t)=8t332t230t7.

Получим запись этого многочлена по степеням x:

=(x36x212x8)8(x24x4)15(x2)7= =x3(68)x2+(128415)x(8841527).

Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням x имеет вид:

L3(x)=x32x25x1.

Построим для заданной выше функции интерполяционный многочлен Ньютона интерполированием вперед, то есть по формуле:

, где , h=xk1xk, k=0,1,2.

Вычислим правые конечные разности (конечные разности вперед)

myk=m1yk1m1yk; m=1,2,3; .

Вычисления проведем в таблице:

k

xk

yk=f(xk)

yk

2yk

3yk

0

2

7

y1y0=17=6

y1y0=106=16

2y12y0=3216=48

1

0

1

y2y1=111=10

y2y1=2210=32

2

2

11

y3y2=1111=22

3

4

11

Итак, в данном случае

=76t8t(t1)8t(t1)(t2) = =8t3(88(12))t2(688(1)(2))t7.

Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням имеет такой же вид, как и интерполяционный многочлен Лагранжа (см. выше):

N3(t)=8t332t230t7,

и по степеням x этот многочлен имеет вид:

N3(x)=x32x25x1.

Построим для заданной выше функции интерполяционный многочлен Ньютона интерполированием назад, то есть по формуле:

, где , h=xk1xk, k=0,1,2.

Вычислим левые конечные разности (конечные разности назад)

myk=m1ykm1yk1; m=1,2,3; .

Вычисления проведем в таблице:

k

xk

yk=f(xk)

yk

2yk

3yk

0

2

7

1

0

1

y1y0=17=6

2

2

11

y2y1=111=10

y2y1=106=16

3

4

11

y3y2=1111=22

y3y2=2210=32

2y32y2=3216=48

Итак, в данном случае

=1122t16t(t1)+8t(t1)(t2) =

=8t3(168(12))t2(221682))t11.

Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням имеет вид:

N3(t)=8t340t254t11.

Получим запись этого многочлена по степеням x:

=(x3−12x248x−64)10(x2−8x16)27(x−4)11= =x3(−1210)x2(4810(−8)27)x+(−64101627(−4)11).

Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням x имеет вид:

N3(x)=x32x25x1.

Убедимся, что полученный многочлен P3(x)=x32x25x1 является интерполяционным для заданной выше функции, построенным по заданным узлам:

P3(2)=(2)32(2)25(2)1=88101=7,

P3(0)=03202501=1,

P3(2)=23222521=88101=11,

P3(4)=43242541=6432201=11.