МатМод2Г / Самостоятельно / Примеры построения интерполяционных многочленов
.docПримеры построения интерполяционных многочленов
Пример 1.
Пусть функция f(x) задана таблицей
-
k
0
1
2
3
xk
2
0
1
2
yk=f(xk)
8
2
2
4
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов интерполяции n1 равно 4. Значит интерполяционный многочлен, построенный по этим узлам, будет иметь степень n не выше 3, и найти его можно по формуле:
.
В данном случае
.
Таким образом,
L3(x)=2x3x25x2.
Построим для заданной выше функции интерполяционный многочлен Ньютона интерполированием вперед, то есть по формуле:
N3(x)=f(x0)(xx0)f(x0,x1)(xx0)(xx1)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1)(xx2)f(x0,x1,x2,x3).
Вычислим разделенные разности
, m=1,2,3; .
Вычисления проведем в таблице:
k |
xk |
yk=f(xk) |
f(xk,xk1) |
f(xk,xk1,xk2) |
f(xk,xk1,xk2,xk3) |
0 |
2 |
8 |
|||
1 |
0 |
2 |
|
||
2 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
Итак, в данном случае
N3(x)=85(x2)3(x2)x2(x2)x(x1)= =2x3+(32(21))x2(5322(2))x+(852).
Таким образом,
N3(x)=2x3x25x2.
Построим для заданной выше функции интерполяционный многочлен Ньютона интерполированием назад, то есть по формуле:
N3(x)=f(x3)(xx3)f(x3,x2)(xx3)(xx2)f(x3,x2,x1)(xx3)(xx2)(xx1)f(x3,x2,x1,x0).
Вычислим разделенные разности
, m=1,2,3; .
Вычисления проведем в таблице:
k |
xk |
yk=f(xk) |
f(xk,xk1) |
f(xk,xk1,xk2) |
f(xk,xk1,xk2,xk3) |
0 |
2 |
8 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
||
3 |
2 |
4 |
Итак, в данном случае
N3(x)=46(x2)5(x2)(x1)2(x2)(x1)x= =2x3(52(21))x2(65(21)22)x+(46(2)52).
Таким образом,
N3(x)=2x3x25x2.
Убедимся, что полученный многочлен P3(x)=2x3x25x2 является интерполяционным для заданной выше функции, построенным по заданным узлам:
P3(2)=2(2)3(2)25(2)2=164102=8,
P3(0)=20302502=2,
P3(1)=21312512=2152=2,
P3(2)=22322522=164102=4.
Пример 2.
Пусть функция f(x) задана таблицей
-
k
0
1
2
3
xk
2
0
2
4
yk=f(xk)
7
1
11
11
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов интерполяции n1 равно 4. Значит интерполяционный многочлен, построенный по этим узлам, будет иметь степень n не выше 3, и, так как таблица равномерная, то есть xk1xk=h=2, k=0,1,2, то найти его можно по формуле:
, где .
В данном случае
.
Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням имеет вид:
L3(t)=8t332t230t7.
Получим запись этого многочлена по степеням x:
=(x36x212x8)8(x24x4)15(x2)7= =x3(68)x2+(128415)x(8841527).
Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням x имеет вид:
L3(x)=x32x25x1.
Построим для заданной выше функции интерполяционный многочлен Ньютона интерполированием вперед, то есть по формуле:
, где , h=xk1xk, k=0,1,2.
Вычислим правые конечные разности (конечные разности вперед)
myk=m1yk1m1yk; m=1,2,3; .
Вычисления проведем в таблице:
k |
xk |
yk=f(xk) |
yk |
2yk |
3yk |
0 |
2 |
7 |
y1y0=17=6 |
y1y0=106=16 |
2y12y0=3216=48 |
1 |
0 |
1 |
y2y1=111=10 |
y2y1=2210=32 |
|
2 |
2 |
11 |
y3y2=1111=22 |
|
|
3 |
4 |
11 |
|
|
|
Итак, в данном случае
=76t8t(t1)8t(t1)(t2) = =8t3(88(12))t2(688(1)(2))t7.
Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням имеет такой же вид, как и интерполяционный многочлен Лагранжа (см. выше):
N3(t)=8t332t230t7,
и по степеням x этот многочлен имеет вид:
N3(x)=x32x25x1.
Построим для заданной выше функции интерполяционный многочлен Ньютона интерполированием назад, то есть по формуле:
, где , h=xk1xk, k=0,1,2.
Вычислим левые конечные разности (конечные разности назад)
myk=m1ykm1yk1; m=1,2,3; .
Вычисления проведем в таблице:
k |
xk |
yk=f(xk) |
yk |
2yk |
3yk |
0 |
2 |
7 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
y1y0=17=6 |
|
|
2 |
2 |
11 |
y2y1=111=10 |
y2y1=106=16 |
|
3 |
4 |
11 |
y3y2=1111=22 |
y3y2=2210=32 |
2y32y2=3216=48 |
Итак, в данном случае
=1122t16t(t1)+8t(t1)(t2) =
=8t3(168(12))t2(221682))t11.
Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням имеет вид:
N3(t)=8t340t254t11.
Получим запись этого многочлена по степеням x:
=(x3−12x248x−64)10(x2−8x16)27(x−4)11= =x3(−1210)x2(4810(−8)27)x+(−64101627(−4)11).
Таким образом, искомый интерполяционный многочлен по степеням x имеет вид:
N3(x)=x32x25x1.
Убедимся, что полученный многочлен P3(x)=x32x25x1 является интерполяционным для заданной выше функции, построенным по заданным узлам:
P3(2)=(2)32(2)25(2)1=88101=7,
P3(0)=03202501=1,
P3(2)=23222521=88101=11,
P3(4)=43242541=6432201=11.