МатМод2Г / Самостоятельно / Сравнение методов решения нелинейных уравнений
.docСравнение методов решения нелинейных уравнений
Методы половинного деления, простых итераций, Ньютона и хорд решают одну и туже задачу:
Пусть нелинейное уравнение
f(x)0
имеет на отрезке [a,b] единственный корень c, значение которого необходимо найти с заданной точностью , >0.
Поэтому возникает вопрос: какой из рассмотренных методов предпочтительнее? Выбирая численный метод для решения задачи, учитывают следующие его свойства:
-
универсальность,
-
простоту реализации,
-
скорость сходимости.
Универсальность метода характеризуется
условиями его применения. Так, метод
половинного деления применим, если
функция f(x)
непрерывна на отрезке [a,b].
Метод простых итераций требует, чтобы
производная f’(x)
была непрерывна и сохраняла свой знак
на отрезке [a,b],
а для выбора итерационного параметра
и оценки
погрешности результата необходимо
указать числа m и M
такие, что m<f’(x)<M
и mM>0.
Методы Ньютона и хорд требую, чтобы на
отрезке [a,b]
непрерывными и знакопостоянными были
первая и вторая производные функции
f(x),
а для оценки погрешности нужно указать
числа m1 и M2
для метода Ньютона или m1
и M1 для метода
хорд такие, что
,
и
.
Таким образом, наиболее универсален метод половинного деления, но он имеет самую низкую скорость сходимости.
Самую высокую скорость сходимости
(квадратичную) имеет метод Ньютона.
Причем, чем меньше отношение
указываемых
для его применения значений m1
и M2, тем быстрее
будет получен результат. Сходимость
метода хорд ниже, но для его применения
не нужно определять алгоритм вычисления
значений производной f’(x),
а исследование второй производной f”(x)
сводится к определению ее знака на
отрезке [a,b].
Но так как методы Ньютона и хорд обеспечивают монотонную сходимость к коню с разных концов отрезка [a,b], то, комбинируя эти методы, получают итерационную последовательность, соседние приближения xn и xn+1 которой лежат по разные стороны от искомого корня c и
|xn+1c|| xn+1 xn|,
то есть точность будет достигнута, если расстояние между соседними приближениями станет меньше :
| xn+1 xn|<.
То есть, комбинируя методы Ньютона и хорд, можно не указывать значения для m1, M1 и M2.
Скорость сходимости метода простых итераций определяется выбором итерационного параметра , чем меньше ||, тем выше скорость сходимости. Выбор в свою очередь определяется выбором m или M. Причем, чем меньше разность Mm, тем быстрее будет получен результат. Применяя метод простых итераций, можно указать для m и M одно и тоже значение – большего из них по модулю, но в этом случае вычисления будут выполняться дольше (см. формулу оценки погрешности метода простых итераций).