Лекции / 13

13.Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух случайных величин, имеющих нормальное распределение. Примеры.

Большинство задач сравнения сводится к проверке гипотез относительно математических ожиданий двух СВ, имеющих нормальное распределение.

Пусть имеются две СВ X иY, распределенные нормально

, .Объем выборок n₁ и n₂ соответственно.

Будем считать,что известны, и не известны. Требуется проверить нулевую гипотезу.В качестве статической рассм. величина(1),где –это выборочное среднее для выборки из генеральной совокупностиX, а- это выборочное среднее для выборки из генеральной совокупностиY. Рассмотрим 3 случая:

1 случай: ,следовательно двуст. кв.обл. наход. из (1), находится по табл. Значений функции Лапласа из равенства ,где –заданный уровень значимости. Если нет оснований отклонить

2 случай: след. левосторонняя крит. обл.

находится по формуле(1), находится по табл. Значений функции Лапласа из равенства (2)

Если<-, то откланяется.

3 случай: след.правостор. кр.область наход. из (1), находится по формуле (2)

Сравнивая эти значения в случае >следует отклонить

Пусть теперь неизвестны.В этом случае для проверки используют статистику (3) Где выборочные средние квадратичные отклонения.

1 случай. Следовательно кр.обл.двуст. находится по формуле (3).Критические значения критерия находятся по таблице student по уровню значимости и (число степеней свободы).Т.е. = Если

2 случай: Кр.обл.левостор.

3 случай: Кр.обл.правостор.

Во 2 и 3 случае находится по формуле(3), =

Пример:Выборка пятидесяти электроламп завода З₁ =1282ч.–средняя продолжительность работы электроламп со средним квадратичным отклонением =80.Такая же по объему выборка того же типа ламп завода З₂ имеет =1208ч.при =94. Проверить гипотезу о том, что эти заводы выпускают детали одинакового качества. Уровень значимости =0.05 n=50,то можно считать, что продолжительность работы ламп, изготовленных заводами З₁ и З₂ имеют нормальное распределение соответственно

Требуется проверить нулевую гипотезу (средний срок службы ламп одинаковый).

средний срок службы ламп завода З₁больше, чем у З₂,следовательно кр.обл.равостор.

Найдем по формуле(1)

==4,23

: =0,45,след. =1,64.

=4,23>=1,64 ,след.нулев.гип.отклон.и принимается альтернативная,т.е. срок службы ламп у завода З₁ больше,чем у З₂.