Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

раздел 5 конспекта лекций.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

917.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

dz = ∂∂xz (x0 , y0 ) x + ∂∂yz (x0 , y0 ) y = z − z0 ,

то есть дифференциал функции двух переменных равен приращению аппликаты касательной плоскости.

Задача 5.1.23

Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением z = ln(x + y2 )в точке (1,0).

Решение

Частные

производные

заданной

функции

равны

∂z

2 y

∂x

x + y2

∂y

Вычислим

значения

частных производных

точке

(1,0):

∂z

(1,0)=1,

∂z

(1,0)= 0 .

∂x

∂y

(1,0) z0 = ln1 = 0 .

Значение функции в точке

Тогда уравнение касательной плоскости

имеет

вид:

z = 0 +1 (x −1)+ 0 (y − 0),

или

z = x −1.

Уравнение

нормали:

x −1

−1

5.1.10. Приближенные вычисления и оценка погрешностей

Из

определения

дифференциала

dw = ∑

∂w

(M0 ) xi

функции

нескольких

∂x

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

i=1

переменных

следует

важный

вывод.

В тех случаях,

когда

модули приращений

достаточно малы, можно заменять приращение функции в

некоторой

точке

M (x1 +

x1, x2 +

x2,..., xn +

xn ) ее

дифференциалом,

так

как они

отличаются

на

бесконечно малую

более

высокого

порядка,

чем

ρ =

∑( xi )2 .

i =1

Погрешность, появляющаяся при такой замене, не превосходит ρ . Этим пользуются при вычислении приближенных значений дифференцируемых функций.

Задача 5.1.23

Вычислить приближенно 3,012 +3,982 .

Решение

Рассмотрим функцию

z =

x2 + y2 . Необходимо вычислить ее значение в точке

M (3,01;3,98).

Представим

z = z0 + z ,

где

z0 = f (x0 , y0 ),

x0 = 3,

y0 = 4 . Тогда

z0 = 5 .

Теперь представим

x = 3,01 = x0 +

y = 3,98 = y0 + y . Так

как

x0 = 3 и y0 = 4 , то

x = 0,01,

y = −0,02 . Поскольку

x и

y достаточно малы, то

заменим

приращение

функции

ее

дифференциалом

dz = ∂z (x , y

)

x +

∂z

(x , y

)

y .

Для

этого

вычислим

частные

производные

∂x

∂y

∂z

точке

(3, 4).

Получим

∂z

(3, 4)= 0,6

∂x

x2 + y2

∂y

∂x

x2 + y2

∂z

(3, 4)

= 0,8 . Тогда дифференциал в точке (3, 4) при

x = 0,01 и

y = −0,02 равен

∂y

dz = 0,6 0,01 + 0,8 (− 0,02)= 0,006 − 0,016 = −0,01 .

Следовательно, приближенное

значение

функции

равно z0 + dz = 5 −0,01 = 4,99 .

При этом верхняя граница абсолютной погрешности

определяется из равенства:

∂z

, y )

∂z

(x , y

)

∂x

∂y

Врассмотренной задаче

=0,6 0,01 + 0,8 0,02 = 0,006 + 0,016 = 0,022 .

5.1.11.Частные производные и дифференциалы высших порядков функции

							нескольких переменных
	Пусть			функция		w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) имеет		частные производные в точке
M	0	(x0	, x0	,..., x0	,..., x0 )		из ее области определения	D Rn . Будем называть их
	0	1	2	i		n

частными производными первого порядка. Так как они являются функциями тех же переменных, что и данная функция, то у каждой из них могут существовать частные производные по любому из этих аргументов.

Полученные таким образом частные производные называются частными производными второго порядка.

В частности для функции двух переменных z = f (x, y) можно составить четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

∂	∂z	=	∂2 z
			∂x	2

∂x	∂x

	∂
= z′′2 ;	∂	∂z	=
= z′′2 ;		∂z	=
x
x	∂y	∂y
	∂	∂z	=


	∂y	∂x

∂2 z	= z′′2 ;	∂	∂z		∂2 z	= z′′
				=			;

∂y2	y				∂x ∂y	xy
		∂x	∂y

∂∂y2∂zx = z′yx′ .

Вообще для каждой из этих частных производных второго порядка можно дать и строгое определение.

Определение 5.1.21

Если существует и конечен

∂z

+ x, y

)−

∂z

, y

)

lim

∂x

x→0

то он называется частной производной второго порядка от z по x дважды в точке

(x0 , y0 ) и обозначается ∂2 z или z′′2 .

∂x2 x

Аналогично даются строгие определения для остальных частных производных второго порядка. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка, и.т.д.

Для функции w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) частная производная пятого порядка

∂5w

∂2 xi ∂2x j ∂xn , если она существует, определяется как функция, полученная из данной

путем двукратного дифференцирования по переменным xi и x j , и однократного дифференцирования по xn . Порядок дифференцирования при этом не имеет значения, так как имеет место теорема, которая в данном курсе приводится без доказательства.

Теорема 5.1.10

Если функция w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) имеет как в точке M 0 , так и в некоторой ее

∂2w

окрестности частную производную второго порядка ∂xi ∂x j , причем она непрерывна в

∂2w

точке M 0 , то в этой точке существует и частная производная ∂x j ∂xi , совпадающая с

∂2w

частной производной ∂xi ∂x j .

Обобщая теорему на производные более высокого порядка, можно сделать вывод, что при соблюдении указанных условий результат частного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Задача 5.1.24

Вычислить все частные производные второго порядка для функции w = x z2 + cos xy .

Решение

Учитывая результат теоремы, можно установить, что существует шесть различных частных производных второго порядка для данной функции.

Частные производные первого порядка:

∂w

= z 2

−sin

;

∂w

= sin

;

∂w

= 2xz .

∂x

∂y

∂z

Частные производные второго порядка:

∂2w = −cos

;

∂2w

= −cos

−sin

;

∂2w

= 2x ;

∂y2

∂ z2

∂x2

∂

2 w

= cos

+sin

;

∂2 w

= 2z;

∂2 w

= 0 .

∂x ∂y

∂x ∂z

∂y ∂z

Определение 5.1.22

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

Пусть

функция

дифференцируема

точке

(x0, x

,..., x0

,..., x0 ).

Тогда в

этой

точке существует

дифференциал

dw = ∑

∂w

(x1, x2,..., xn ) dxi .

Будем

дальнейшем

называть

его

дифференциалом

∂x

i=1

первого порядка или первым дифференциалом. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции w в точке M 0 называется дифференциал от ее

первого дифференциала d (dw), который обозначается d 2w.

Теорема 5.1.11

Если задана дифференцируемая функция w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) и x1, x2 ,..., xn - независимые переменные, то имеет место формула

n	∂	2
d 2w = ∑			w		(x1, x2,..., xn ) dxi dx j .
	∂x		∂x
i, j=1	i			j

Доказательство

Так как x1, x2 ,..., xn

- независимые переменные, то

dx1, dx2 ,...,dxn - тоже

независимые переменные. Поэтому

∂w

w = d(dw)

= d

∂x (x1, x2

∂x

dxi .

∑

,..., xn ) dx

= ∑d

i=1

∂w

∂

∂x

= ∑

∂x

dx j , то

Поскольку d

j=1

∂

d 2w =

∑

(x1, x2 ,..., xn ) dxi dx j .

∂x

i, j=1

В частности,

для функции двух переменных z = f (x, y),

учитывая независимость

частных производных от порядка дифференцирования, справедливо:

d 2 z =	∂2 z	(dx)2	+ 2	∂2z	dx dy +	∂2z	(dy)2 .
	∂x2			∂x∂y		∂y2

Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал третьего порядка или третий дифференциал – это дифференциал от второго

дифференциала.	что для функции двух переменных z = f (x, y) формула для третьего
Легко показать,
дифференциала имеет вид:
∂3z	(dx)3 +3	∂3z	(dx)2 dy +3	∂3z	dx(dy)2 +	∂3 z	(dy)3 .
d3z = ∂x3						∂y3
		∂x2∂y		∂x∂y2

Формулы для второго дифференциала функции двух переменных z = f (x, y) удобно записывать в символическом виде:

d 2 z = ∂∂x dx + ∂∂y dy 2 z ,

∂

где под записью ∂x понимается операция взятия частной производной по переменной

∂

x , а под записью ∂y понимается операция взятия частной производной по переменной

y .

В общем случае для дифференциала n - го порядка функции двух переменных z = f (x, y) справедлива формула:

d n z = ∂∂x dx + ∂∂y dy n .

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Следует помнить, что эти формулы записаны в предположении,

что x и y

–

независимые

переменные. Если же

z = f (x, y)

является сложной функцией,

в которой

и y в свою

очередь являются функциями двух переменных, то

∂z

= d

z = d

∂x

∂y

∂x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.2019733.18 Кб66Рабочая программа по численным методам123.doc
#
18.04.201541.16 Кб464Развитие Эвм.docx
#
01.07.202525.9 Кб0раздел 2, концепции современного естествознания...docx
#
18.04.2015972.19 Кб107раздел 3 конспекта лекций.pdf
#
18.04.2015752.06 Кб81раздел 4 конспекта лекций.pdf
#
18.04.2015917.12 Кб50раздел 5 конспекта лекций.pdf
#
01.04.2025403.46 Кб3раздел1..doc
#
01.04.2025437.25 Кб5Раздел2.doc
#
14.04.20191.13 Mб31Ракетный Крейсер Слава.doc
#
18.04.2015505.62 Кб319Расчет винтового домкрата З — копия.docx
#
12.09.2019646.66 Кб44Расчет винтового домкрата Ярвепер.doc