Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

раздел 5 конспекта лекций.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

917 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

z = ∂z

(x0 , y0 ) x +

∂z

(x0 , y0 )

y + α( x)

x +β( y)

y .

∂x

∂y

Заметим, что выражение α(

x +β(

представляет

собой

бесконечно

малую функцию при

x → 0 и

y → 0, имеющую более высокий порядок, чем

y . Если обозначить эту бесконечно малую функцию θ(ρ), где ρ =

x2 +

y2 ,

то

полное приращение функции запишется в виде:

z = A1

x + A2

y + θ(ρ), где

A2 - вещественные числа, а θ(ρ)

– бесконечно малая при

x → 0

y → 0,

более

высокого

порядка,

чем

ρ =

x2 +

y2 .

Следовательно,

функция

z = f (x,

дифференцируема в точке M 0.

5.1.6. Производная сложной функции. Полная производная

Теорема 5.1.8

Пусть на множестве D Rn задана дифференцируемая по переменным

x , x

,..., x

w = f (x1, x2 ,..., xi ,..., xn )

функция

функции

x1 = x1(v1, v2 ,...,vn ),

x2 = x2 (v1, v2 ,...,vn ),…,

xn = xn (v1, v2 ,...,vn )

свою

очередь

являются

дифференцируемыми функциями m независимых переменных v1,v2 ,...,vm . Тогда функция w является сложной дифференцируемой функцией независимых переменных

v1,v2 ,...,vm и частные производные от функции w по этим переменным равны:
	∂w	n	∂w	∂x	i
		= ∑			i	, где	j = 1,2,..., m .
	∂v j	= ∑	∂xi			, где	j = 1,2,..., m .
	∂v j	i=1	∂xi	∂v j
Доказательство

∑

∂w

Из дифференцируемости

функции

w следует, что

w = n

+ θ(ρ),

где

∂x

i=1

( xi )2 . Тогда

ρ =

∑

i=1

∂w

θ(ρ)

= ∑

v j

∂xi

v j

i=1

v j

последнем равенстве

перейдем

к пределу

при

v j → 0, зафиксировав

все

остальные переменные vk . Получим

v j

w n

∂w

v j xi

θ(ρ)

lim

= ∑

lim

+ lim

∂xi

v j

v j i=1

v j →0

v j

→0 v j

v j →0

Из дифференцируемости функций x1, x2,..., xn по переменным v1, v2,..., vm следует

существование конечных пределов lim	v j	xi	=	∂x	i	, а также непрерывность функций
	v j
				∂v j
v j →0
x1, x2,..., xn . Из непрерывности функций		x1, x2,..., xn следует, что v j xi → 0 при

v j → 0 для всех i = 1,2,...n . При этом из дифференцируемости функций x1, x2,..., xn

следует также,

что θ(ρ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем

v j и,

θ(ρ)

∂w

∂x

значит,

lim

= 0 .

Следовательно,

lim

∑

при

всех

∂v

v j →0

i=1 ∂x

∂v

v j →0

j = 1,2,..., m . Теорема доказана.

z = f (x, y),

частном

случае,

для

сложной

функции

двух

переменных

где

x = x(u, v)

y = y(u, v), частные производные по независимым переменным

и v

вычисляются по формулам

∂z

∂x

∂z

∂y

∂z =

∂z

∂x

∂z

∂y .

∂u

∂y

∂x

∂v

∂x

∂u

∂v

∂y

∂v

Задача 5.1.18

Задана

сложная

функция

w = 2

где x = u

y =

u ,

z = v2 +3v .

Вычислите

∂w

и ∂w .

частные производные

∂u

∂v

Решение

Используя

формулу

производной

сложной

функции

∂w

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

и вычислив частные производные по переменной x :

∂x

∂y

∂u

∂z

∂w

∂w = 2

z :

= 2

ln 2

по

переменной

y :

ln 2

по

переменной

∂x

∂y

∂w

= −2

ln 2

также

частные

производные

от

переменных

y, z

по

∂z

∂x

∂y

∂z

независимым переменным u и v :

= 0 ,

получим

∂u

2 u

∂u

выражение для частной производной функции w по переменной u .

∂w

= 2 z ln 2

+ 2

ln 2

∂u

Аналогично, выражение для частной

производной функции w по независимой

переменной

получим,

используя

формулу

производной

сложной

функции

∂w

∂x +

∂w

∂y

∂w

∂z , и, вычислив все входящие в нее частные производные

∂v

∂x

∂y

∂v

∂z

∂v

∂x

= −

∂y

= 0 ,

∂z

= 2v +3 .

∂v

∂w

(2v +3).

= −2

ln 2

− 2

ln 2

∂v

Следствие 1

Если на множестве

D Rn задана дифференцируемая по переменным x , x

,..., x

функция

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

если

функции

x1 = x1 (t),

x2 = x2 (t),..…, xn = xn (t) - дифференцируемые функции

независимой переменной t ,

то функция w является сложной дифференцируемой функцией одной переменной t и ее полная производная по независимой переменной t равна:

dw	n	∂w	dx
	= ∑		i .
dt	= ∑	∂x	i .
dt	i=1	∂x	dt
		i
Задача 5.1.19				z = arctg(xy)
Найти полную производную по	t от	функции		z = arctg(xy)	, если	x = t ln t ,
				3 y

y = tg3 t .

Решение

По формуле полной производной dzdt = ∂∂xz dxdt + ∂∂yz dydt . Тогда

−3

3xy

∂z

−x

y −arctg(xy)3

−arctg(xy)

1+(xy )2

∂x

3 y

1 + (xy)2

∂y

3 y2

3 3 y4

= ln t +t

= ln t +1 ,

3tg

= 3

sin2 t

cos

2 t

cos4 t

Подставляя вычисленные производные в формулу, получим

3 y2

3xy

−arctg(xy)

3 sin2 t .

(lnt +1)+

1+(xy)2

+(xy)2

3 3

cos4 t

ЗАМЕЧАНИЕ

Иногда функция w явно зависит от переменной t , то есть w = f (t, x1(t), x2 (t),..., xn (t)). В

∂w

этом случае формула для полной производной имеет вид:

+ ∑

i .

∂t

∂x

i=1

∂w

Здесь следует различать частную производную

∂t ,

которая вычисляется в предположении,

что x ,

,…, x

не зависят от переменной t ,

и полную производную

dw ,

которая

учитывает и зависимость от t функций x1 , x2 ,…, xn .

Задача 5.1.20

z = t cos(t + x2 + 2 y3 ), где x = e−t , y =

. Вычислите полную производную

dz .

Решение

По формуле полной производной dzdt = ∂∂zt + ∂∂xz dxdt + ∂∂yz dydt . Вычислим:

∂∂zt = cos(t + x2 + 2 y3 )−t sin(t + x2 + 2y3 ), ∂∂xz = −2xt sin(t + x2 + 2y3 ),

∂∂yz = −6 y2 t sin(t + x2 + 2 y3 ), dxdt = −e−t , dydt = −t23 ,

и подставим вычисленные производные в формулу полной производной. Получим

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201541 Кб566Развитие Эвм.docx
#
01.07.202526 Кб18раздел 2, концепции современного естествознания...docx
#
18.04.2015972 Кб122раздел 3 конспекта лекций.pdf
#
18.04.2015752 Кб89раздел 4 конспекта лекций.pdf
#
01.07.20251 Мб24Раздел 4.doc
#
18.04.2015917 Кб64раздел 5 конспекта лекций.pdf
#
01.04.2025403 Кб5раздел1..doc
#
01.04.2025437 Кб7Раздел2.doc
#
14.04.20191 Мб36Ракетный Крейсер Слава.doc
#
01.07.2025639 Кб0растворы Нов мет 22-03-16.doc
#
18.04.2015506 Кб327Расчет винтового домкрата З — копия.docx

5.1.6. Производная сложной функции. Полная производная

Теорема 5.1.8

Доказательство

Задача 5.1.18

Решение

Следствие 1

Задача 5.1.19

Решение

Задача 5.1.20

Решение