2

= 4 − x

2

− y

2

2

+ y

2

+ z

2

= 4. Следовательно, функция задает верхнюю

z

, или x

z ≥ 0

z ≥ 0

z

2

2

y

2

x

Рис. 5.1.6.

Определение 5.1.12

Пусть

на

множестве

D Rn задана

функция

w = f

(x , x

2

,..., x

n

)

и

пусть

(x0

,..., x0 ) – предельная

1

M

0

, x0

точка

множества

D .

Число

A называют

пределом

1

2

n

функции w = f (x1, x2,..., xn ) в

точке M0 и записывают

lim

f (x1, x2,..., xn ) = A или

lim

f (M ) = A .

x →x0

M →M0

i

i

Иначе говоря, если для любой ε –

окрестности точки A ( Uε(A))

найдется

δ –

окрестность

точки

Ì 0

( U (M 0 ),

для

которой

справедливо:

если

точка

M (x , x ,..., x ) D ∩U&(M

0

), то значение функции в этой точке f (x , x ,..., x ) U

ε

(A).

1

2

n

1

2

n

Пусть функция f (M ) задана на множестве

D Rn

и

M 0 D - предельная точка D .

lim f (M ) = A ,

если

ε > 0

δ > 0 :

M D :

M →M0

0 < ρ(M0 , M )< δ

f (M )− A

< ε.

Задача 5.1.9

Задана функция двух переменных

f (x, y) = x sin

1

+ y cos

1

при x ≠ 0 и

y ≠ 0.

y

x

Покажем, пользуясь определением, что

lim

f (x, y) = 0

. В самом деле, поскольку

x→0

y →0

f (x, y)

x

1

+

y

cos

1

x

y

≤

sin

≤

+

,

y

x

то для произвольного числа

ε > 0

можно выбрать

δ =

ε

. Тогда для любой точки

2

M (x, y) U&δ(O) выполняется

x

+

y

<

ε

+

ε

= ε, откуда следует, что

f (x, y)

< ε .

2

2

ЗАМЕЧАНИЕ 3

Из определения предела и замечания 1 следует, что для того, чтобы функция

f (M )

имела

предел в точке M 0 ,

необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности точек

M1, M 2,..., M n , имеющей пределом точку M 0 , существовал предел

lim

f (M n )

и был

n→∞

одинаковым для всех последовательностей M1, M 2,..., M n .

Задача 5.1.10

Функция f (x, y) =

x2 y

не имеет предела в точке O(0,0)

- начале координат.

x4 + y2

x = mt

, то

y = nt

lim

m2nt 3

= lim

m2nt

= 0.

2t 2

+ n2

t →0 m4t 4 + n

t →0 m4t 2

x = t

, то lim

t

4

=

1

.

параболе

4 + t 4

y = t 2

t →0 t

2

Задача 5.1.11

Пусть задана

функция

f (x, y) =

e xy

− cos xy

. Предел

этой функции

в начале

3xy

координат равен

1

. Это следует из того, что можно сделать замену переменных xy = t и

3

перейти к пределу функции одной переменной t .

lim e xy −cos xy = lim et −cos t = lim

(et

−1)+ (1 −cos t)

= lim

t +

1

t 2

=

1 .

2

x→0

3xy

t→0

3t

t→0

3t

t→0

3t

3

Определение 5.1.14

Пусть

на

множестве

D Rn

задана

функция

w = f (x , x

2

,..., x

n

)

и

пусть

(x0, x0,..., x

0 ) D .

1

M

0

Пусть

числа

x ,

x

2

,..., x

n

таковы,

что

точка

1

2

n

) D .

1

M (x0

+

x , x0

+

x

2

,..., x0

+

x

n

Полным

приращением

функции

1

1

2

n

w = f (x1, x2,..., xn ) в точке M 0 называется число

w = f (M )− f (M 0 ).

Теорема 5.1.1

w = f (x1, x2,..., xn ),

Для того

чтобы

функция

заданная

на

множестве

D ,

была

непрерывна

в

точке M

0

(x

0, x0

,..., x0 ) D

необходимо

и

достаточно,

чтобы

1

2

n

lim

w = 0,

i =1,2,...n .

xi

→0

Доказательство

w = f (x1, x2,..., xn )

Из того, что функция

непрерывна в точке

M 0 следует, что

существует конечный

lim f (M ) = f (M 0 ).

Тогда

lim (f (M )− f (M 0 ))= 0 . Если

M →M0

M →M 0

координаты

точки

M (x1, x2,..., xn )

представить

в

виде

x

= x0 +

x , x

2

= x0 +

x

2

, ..., x

n

= x0 +

x

n

,

то

ясно,

что

1

1

1

2

n

f (M )− f (M 0 ) = w ,

M → M 0 xi

→ 0,

i =1,2,...,n .

Так

как

то

lim w = 0, i =1,2,..., n .

xi →0

Определение 5.1.15

Функция

w = f (x , x

2

,..., x

n

), заданная на множестве D Rn

и непрерывная в

1

Задача 5.1.12

Прямая

y = x является линией разрыва для функции

w =

x + y

.

Коническая

x − y

поверхность

z2 = x2 + y2 является поверхностью

разрыва для

функции

w =

3x

.

x2 + y2 − z 2

Пусть функция

w = f (M )

непрерывна в замкнутом и ограниченном множестве

D Rn и пусть

p ≤ f (M ) ≤ P для всех точек M D . Если для числа c справедливо

неравенство

p ≤ c ≤ P , то существует точка M0 D , такая, что

f (M0 )= c .

5.1.4. Частные производные функции n переменных

Определение 5.1.17

Пусть функция

w = f

(x , x

2

,..., x

,..., x

n

)

определена на множестве D Rn . Пусть

1

i

точки

M0 (x10 , x20 ,..., xi0 ,..., xn0 )

и

Mi (x10 , x20 ,..., xi0 +

xi ,..., xn0 )

принадлежат

этому

множеству. Частным приращением функции

f (x1, x2,...xi ,..., xn ) по переменной xi

называется

число,

равное

разности

значений функции

в

этих

точках,

то есть

f (M

i

)− f (M

0

)

или f (x0

, x0,..., x0

+

x

,..., xo )− f (x0

, x0

,..., x0

,..., xo ).

Частное

1

2

i

i

n

1

2

i

n

приращение обозначается

x w

или

x

i

f .

i

Определение 5.1.18

Пусть

функция

w = f (x , x

2

,..., x

,..., x

n

)

определена на множестве

D Rn

и

1

i

пусть M

0

(x0

, x0,..., x0

,..., x0 ) D .

Если

существует и конечен lim

xi w

, то

он

1

2

i

n

xi →0

xi

∂z

= lim

f (x0 + x, y0 )− f (x0 , y0 )

,

∂x

x

x→0

∂z

= lim

f (x0 , y0 + y)− f (x0 , y0 )

,

∂y

y

y→0

∂z

= yx

y−1

;

∂z

= x

y

ln x .

∂x

∂y