1

1

1

−

r

2

r

6

r

3

Нормируем собственные векторы: e1′′ =

0

, e2′′ =

2

, e3′′ = −

1

.

6

3

1

1

1

2

6

3

Определение 5.2.5

f (x, y) определена в области D R2 , а M 0 (x0 , y0 )

Пусть функция

– внутренняя

точка этой области. Точка M 0 называется точкой минимума функции f (x, y), если

Uδ(M0 ): M (x, y) Uδ(M0 ) f (x, y)≥ f (x0 , y0 ).

Определение 5.2.6

f (x, y) определена в области D R2 , а M 0 (x0 , y0 )

Пусть функция

- внутренняя

∂f

(x0

, y0 )= 0

∂x

этой точке экстремум (максимум или минимум), то

.

∂f

(x0 , y0 )= 0

∂y

∂f

(x0

, y0 )= 0

df (x

)= 0 .

∂x

, y

дифференцируема в этой точке и

, или

0

0

∂f

(x0 , y0 )= 0

∂y

и если в некоторой окрестности этой точки d 2 f (x0 , y0 ) сохраняет знак,

то функция в

точке M 0 имеет экстремум. При этом

если

d 2 f (x0 , y0 )> 0 ,

то этот экстремум

минимум. Если d 2 f (x0 , y0 )< 0 , то это максимум.

Доказательство

f (x, y)

M 0 (x0 , y0 )

Представим функцию

в окрестности точки

формулой Тейлора

df

(x

, y )

d

2

f

(x

, y )

d

3

f

~ ~

f (x, y)= f (x0 , y0 )

+

+

+

(x , y )

до членов второго порядка:

0

0

0

0

.

С

1!

2!

3!

точностью до

бесконечно

малых

более

высокого

порядка,

чем

(dx)3 = (x − x0 )3

и

(dy)3 = (y − y0 )3 ,

учитывая,

что

в

стационарной

точке

df (x0 , y0 )= 0 ,

формулу

Тейлора можно записать в виде

d

2

f (x0 , y0 )

d

3

f

~ ~

~

~

f (x, y)= f (x0 , y0 )+

(x , y )

+

, где x0 < x

< x, y0 < y < y .

2!

3!

Из формулы дифференциала

3 - го

порядка

ясно,

что при

достаточно малых

x − x0 , y − y0

f (x, y)≈ f (x0 , y0 )+

d

2 f (x

, y

)

0

0

.

Из

последнего соотношения ясно, что

2!

если d 2 f (x0 , y0 )> 0 ,

то в некоторой окрестности Uδ(M 0 )

выполняется неравенство

f (x, y)≥ f (x0 , y0 ),

что

соответствует

определению

минимума.

Если

же

d 2 f (x0 , y0 )< 0 ,

то

в

некоторой

окрестности Uδ(M0 ) имеем

неравенство

f (x, y)≤ f (x0 , y0 ), из которого следует, что в точке M 0 максимум.

ЗАМЕЧАНИЕ

Если d 2 f (x0 , y0 ) меняет знак в окрестности точки M 0 ,

то это еще не означает, что в этой

точке нет экстремума.

Задача 5.2.5

Функция z = x4 + y2 − 4x

имеет в точке (1,0)

минимум.

Это следует из того, что

решением системы

∂z

= 4x3 − 4

∂x

∂z

= 2 y

∂y

∂2 z

=12x2 ,

∂2 z

= 2 ,

∂2 z

= 0 .

∂x2

∂y2

∂x∂y

∂2 z (1,0)=12 ,

∂2 z (1,0)= 2

,

∂2 z

(1,0)= 0 .

∂x∂y

∂x2

∂y2

Теорема 5.2.3

Если M 0 (x0 , y0 )

– стационарная точка дважды

дифференцируемой функции

z = f (x, y) и если A =

∂2 z (x0 , y0 ),

C = ∂2 z (x0 , y0 ),

B = ∂2 z (x0 , y0 ), то функция

∂x2

∂y2

∂y2

имеет экстремум, если

AC − B2 > 0 и не имеет экстремума, если AC − B2 < 0 . При

Вынесем (dy)2 за скобку

dy

2

dy

d 2 z(x

0

, y

0

)= A

+ 2B

+C

(dy)2

dx

dx

Чтобы выражение

d 2 z(x0 , y0 )

было определенного

знака,

дискриминант

D

квадратного трехчлена

A t 2 + 2B t +C

должен

быть

меньше

нуля.

D = 4B2 − 4AC = 4 (B2 − AC).

Следовательно,

при

B2 − AC < 0 , или

при

AC − B2 > 0 есть экстремум. При AC − B2 < 0 нет экстремума.

Если AC − B2 > 0 , то

при

A > 0 квадратный трехчлен A t 2 + 2B t +C > 0

и

экстремум является минимумом;

при

A > 0 квадратный трехчлен A t 2 + 2B t +C < 0

и экстремум является максимумом.

ЗАМЕЧАНИЕ

Если AC − B2 = 0

экстремум

может быть, а может и не быть.

Этот случай требует