Теорема 5.1.5

Пусть функция двух переменных

z = f (x,

y) определена на множестве

D R2 и

точка

M 0(x0, y0 ) D .

Частная производная

∂z

(M0 )= tg α, где

α - угол

между

∂x

z = f (x, y)

касательной, проведенной к пространственной кривой,

заданной системой

,

y = y0

в точке с координатами x0, y0,

f (x0, y0 ) и осью Ox .

Задача 5.1.16

2

2

x

+ y

в точке M 0(1,1)

с осью

Какой угол составляет касательная к кривой z =

x

= 1

Oy ?

Решение

Если

α

-

искомый

угол,

то

tg α =

∂z

(1,1).

Определим

∂y

∂z

1

−

1

y

=

(x2 + y 2 ) 2

2y

=

и

вычислим

в

точке

M0 .

tg α =

1

,

∂y

2

x2 + y 2

2

следовательно, искомый угол α = arctg

1

.

2

5.1.5. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости

Определение 5.1.19

Функция

w = f (x1, x2 ,..., xn )

называется

дифференцируемой

в

точке

M

0

(x0

, x0,..., x0 ) D Rn ,

где D

- область определения функции,

если ее полное

1

2

n

n

+ θ(ρ), где Ai -

приращение

w в этой точке можно представить в виде:

w = ∑Ai

xi

(x0

i=1

0 ) и не зависят от

числа, которые зависят только от координат точки

M

0

, x0

,..., x

θ(ρ)

1

2

n

xi ,

а

есть бесконечно

малая

более

высокого

порядка,

чем

бесконечно

малая

приращений xi . а вторая – θ(ρ)

i =1

является бесконечно малой более высокого порядка, чем

каждое приращение xi .

Пусть

функция

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

дифференцируема

в

точке

M

0

(x0

, x

0

,..., x0,..., x0 ) из области определения

D Rn .

По определению ее полное

1

2

i

n

)− f (x0, x0,..., xo )

приращение

w = f (x0

+

x , x0

+

x

2

,..., x0 +

x

n

можно

1

1

2

n

1

2

n

представить в виде:

n

+ θ(ρ)

w = ∑Ai

xi

(5.1.1)

i=1

Из последнего равенства следует:

1. Приращения

w → 0 при всех

xi → 0,

i = 1,2,..., n . Это ясно из того, что ρ -

бесконечно малая при

xi → 0,

i = 1,2,..., n , а поскольку

Ai -

некоторые числа, то и

n

∑Ai

xi

→ 0 при

xi

→ 0,

i = 1,2,..., n .

i =1

2. Если положить

x2 =

x3 =... =

xn = 0 , то равенство (1) можно записать в виде

x + θ(

)

x

w

θ(

x )

x

w = A

x

или

1

= A +

1

и перейти к пределу при

x → 0 .

1

1

1

x1

1

x1

1

1

x w

θ(

x

)

Тогда

lim

1

= lim A + lim

1

= A

, откуда следует, что существует конечный

x1→0

x

1

x1→0

x

1

x →0

1

1

1

предел

lim

x w

=

∂w

(M

).

1

0

x

∂x

x1

→0

1

1

Аналогично можно доказать существование конечных частных производных

∂w

(M

0

),

∂w

(M

0

), ….,

∂w

(M

0

).

∂x

∂x

∂x

2

3

n

Следствие 1

Из доказательства теоремы следует, что числа

Ai

в определении дифференцируемой

Следовательно,

полное

приращение

функции

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ),

дифференцируемой в точке M

0

, можно представить в виде

w = n

∂w

(M

0

)

x + θ(ρ),

∑

∂x

i

i=1

i

где θ(ρ) - бесконечно малая более высокого порядка, чем

n

ρ =

∑( xi

)2

при всех

i =1

xi →0 .

Следствие 2

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

Если у

функции

не

существует

конечная

частная

производная

∂w

(M

0

)

хотя бы по одной переменной

x

, то в точке

M

0

функция не

∂xi

i

является дифференцируемой.

Задача 5.1.17

Функция двух переменных z = x3 y определена на полуплоскости:

−∞ < x < +∞ и

0 ≤ y < +∞. Ее частные производные равны:

∂w

= 3x

2

y

,

∂w

=

x3

.

Так как

∂x

∂y

y

2

∂w

не существует при

y = 0, то заданная функция не является дифференцируемой на

∂y

Если функция

w = f (x , x

2

,..., x

,..., x

n

)

определена на множестве

D Rn

и имеет

(x0

1

i

в точке M

0

, x0

,..., x0,..., x0 ) D

непрерывные частные производные

по всем

1

2

i

n

большего числа переменных доказательство будет аналогичным.

Для функции z = f (x, y) полное

приращение

в

точке M 0(x0, y0 )

имеет

вид:

z = f (x0 + x, y0 + y)− f (x0, y0 ).

Прибавим

и

вычтем в левой

части

этого

соотношения значение функции f (x0 +

x, y0 ). Тогда

z можно записать в следующем

z =

∂z

(x

+

x, y ) y +

∂z

(x , y

)

x ,

(5.1.2),

∂y

∂x

0

1

1

0

где

y0

< y1 < y0 +

y ,

x0 < x1 < x0 +

x . Ясно, что при

y → 0,

y1 → y0

и при

x → 0 x1 → x0.

Поскольку частные производные непрерывны, то

lim

∂z (x , y

)

=

∂z (x , y ); lim

∂z

(x

+

x, y

)=

∂z

(x , y

),

∂y

∂y

x

→0

∂x

1 0

∂x

0 0

y→0

0

1

0

0

откуда

следует,

что

∂z (x , y

)

= ∂z

(x

, y

)+ α( x)

и

∂z

∂z

∂x

1

0

∂x

0

0

(x

0

+ x, y

)=

(x

0

, y

0

)

+β(

y), где α(

x)

и β(

y) - бесконечно малые функции

∂y

1

∂y

при

x → 0 и

y → 0 . Учитывая это, соотношение (2) можно переписать в следующем

виде