5.1.8.Определение дифференциала функции нескольких переменных и его свойства. Инвариантность формулы дифференциала

Определение 5.1.20

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

Если

функция

дифференцируема

в

точке

M

0

(x0

, x0,..., x0,..., x0 ) из ее области определения

D Rn , то линейная относительно

1

2

i

n

приращений

x1,

x2 ,...,

xn часть полного приращения функции, то

есть величина

n

f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

∑Ai

xi называется дифференциалом функции

в точке

M0 и

i =1

обозначается dw .

Учитывая следствие 1 теоремы 5.1.6, формулу для дифференциала в точке M0

можно

записать в виде:

dw = n

∂w

(M

0

)

x .

∑

∂x

i

i=1

i

Поскольку для

независимых переменных

xi

= dxi , i = 1,2,...n ,

то

последнюю

формулу для дифференциала в произвольной точке можно записать как

dz =

∂z

(x, y)

x +

∂z

(x, y) y , или

dz =

∂z

(x, y) dx +

∂z

(x, y) dy ,

∂x

∂y

∂x

∂y

ЗАМЕЧАНИЕ

Следует понимать, что

дифференциал функции n

переменных

является функцией 2n

Задача 5.1.21

Найти значение

дифференциала

функции

z = arctg

x

в точке

M

0

(1,1), если

y

приращения x = 0,02 ,

y = −0,03.

Решение

По формуле полного дифференциала dz = ∂z

(x , y

) x +

∂z

(x , y

)

y . Частные

∂y

∂x

0

0

0

0

∂z

1

1

∂z

1

x

производные равны:

∂x

=

,

= −

.

Вычислим

значения

1 + (

x

)2

y

∂y

1 + (

x

)2

y2

y

y