dz =

1

0,02 −

1

0,03 = −0,005.

2

2

Теорема 5.1.9

n

Дифференциал

dw = ∑

∂w

(x1, x2,..., xn ) dxi

обладает свойством инвариантности

∂x

i=1

i

формы, то есть формула для него сохраняет свой вид, если x1, x2,..., xn

не простые

независимые переменные, а

являются функциями переменных v1, v2,..., vm . В этом

случае дифференциалы dxi

≠

xi , а в свою

очередь вычисляются по

формулам

m

∂x

dxi = ∑

i

(v1,v2

,...,vm ) dv j ,

i = 1,2,..., n .

j=1

∂v j

Доказательство этой теоремы легко провести самостоятельно.

Если u = f (x1, x2 ,..., xi ,..., xn ) и w = g(x1, x2 ,..., xi ,..., xn ) - функции n переменных,

то при вычислении дифференциалов справедливы следующие правила:

1.

d (c u)= c du , где c = const ;

2. d (u ± w)= du ± dw ;

3. d(u w) = u dw + w du ;

4. d (

u

)= du w −u dw ;

w

w2

5. df (w)= fw′ dw .

где a = −

A

,

b = −

B

.

C

C

параметров a и b это уравнение

Выясним,

при

каких значениях

является

уравнением касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке (x0 , y0 ).

Положив в этом уравнении

y = y0

,

y = y0

,

получим уравнение прямой

z = z0 + a (x − x0 )

которая при

a = ∂z (x0 , y0 )

является

уравнением касательной к

кривой,

заданной

∂x

y = y

0

, в точке (x0 , y0 ).

системой

y)

z

= f (x,

Положив в этом уравнении

x = x0

x = x0

,

, получим уравнение прямой

z = z0 +b (y − y0 )

∂z

x = x0

которая при b =

(x0 , y0 ) является уравнением касательной к кривой

f (x,

y)

в

∂y

z

=

(рис. 5.1.8). Поскольку через две пересекающиеся прямые можно провести только одну

плоскость, то уравнение z = z0 + a (x − x0 )+b(y − y0 )

является уравнением

Рис. 5.1.8.

Следствие 1

z = f (x, y),

z = f (x, y)

Если

поверхность

задана

уравнением

и

функция

дифференцируема в точке (x0 , y0 ),

то уравнение нормали к этой поверхности в точке

M 0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), имеет вид:

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

∂z

∂z

(x

0

, y

0

)

(x

0

, y

0

)

−1

∂y

∂x

Следствие 2

Полагая

в

уравнении

касательной

плоскости

z = z

0

+

∂z

(x , y

)(x − x

)+

∂z

(x , y

)(y − y

),

x − x

0

= x

и

y − y

0

=

y , можно

∂x

0 0

0

∂y

0 0

0