5.2.7. Условный экстремум функции двух переменных
Для функции двух переменных f (x, y) при условии |
ϕ(x, y)= 0 функция Лагранжа |
|
имеет вид: L(x, y, λ)= f (x, y)+λϕ(x, y). |
|
|
|
∂L = 0 |
|
|
∂x |
|
|
= 0 . |
|
Стационарные точки определяются из системы: |
∂L |
|
|
∂y |
|
ϕ(x, y)= 0
Если M0 (x0, y0 ) – стационарная точка, соответствующая множителю Лагранжа λ0 , то функция f (x, y) имеет в точке M0 условный экстремум, если определитель
|
0 |
ϕ′x (M0 ) |
ϕ′y (M0 ) |
|
||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
= |
ϕ′x (M0 ) |
∂∂xL2 |
(x0 , y0 , λ0 ) |
∂ L |
(x0 , y0 , λ0 ) |
≠ 0 . |
∂x∂y |
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
ϕ′y (M0 ) |
∂ L |
(x0 , y0 , λ0 ) |
∂∂yL2 |
(x0 , y0 , λ0 ) |
|
∂x∂y |
||||||
Функция f (x, y) имеет в точке |
M0 условный минимум, если < 0 и условный |
|||||
максимум, если > 0 .
ЗАМЕЧАНИЕ
Если определитель = 0 , то экстремум может быть, а может и не быть.
5.2.8. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
Теорема 5.2.4
Непрерывная функция w = f (x1, x2 ,..., xn ), заданная на ограниченном и замкнутом
множестве, принимает на этом множестве наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться в точках экстремума и на
границе области, поэтому для их отыскания поступают следующим образом:
определяют стационарные точки функции и вычисляют значения функции в тех стационарных точках, которые содержатся внутри заданного множества;
вычисленные значения функции сравнивают между собой и со значениями функции на границе области. Среди них находят наибольшее и наименьшее.
Задача 5.2.8
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + y2 − xy − x − y в области, ограниченной координатными осями и прямой x + y =3.
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
= 2x |
− y −1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∂x |
|||||
Стационарные |
точки |
|
функции определяются из системы: |
|
|
. |
||
|
∂z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= 2 y |
− x −1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение системы |
x =1 |
. |
Стационарная точка M1(1; 1) находится |
внутри |
заданной |
|||
|
||||||||
|
y =1 |
|
|
|
|
|
|
|
области (рис. 5.2.2). Значение функции в этой точке равно z(M1)= −1 .
46
y |
|
3 |
M 4 |
|
|
|
|
|
M 7 |
|
|
|
|
|
1 |
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
M5 |
|
M 6 |
|
|
|
|
|
M3 |
M 2 1 |
3 |
x |
|
|
|
|
|
Рис. 5.2.2. |
|
|
|
Граница области задается уравнениями: |
|
|
|
||||
1. x = 0, |
0 ≤ y ≤3 . На этой части границы |
z = y2 − y |
– функция одной переменной. |
||||
Так как z′ = 2 y −1 = 0 |
при y = 0,5 , |
то наименьшее и наибольшее значения функции |
|||||
может быть |
в точке |
M 5 (0; 0,5), а |
также в |
граничных |
точках |
M3(0; 0) и M 4 (0; 3). |
|
Вычислим значения во всех этих точках: z(M 5 )= −0,25 , z(M3 )= 0, |
z(M4 )= 6 . |
||||||
2. y = 0, |
0 ≤ x ≤3 . |
На этой части границы z = x2 − x . Так как z′ = 2x −1 = 0 при |
|||||
x = 0,5 , то наименьшее и наибольшее значения функции может быть в точке M 2 (0,5; 0), |
|
а также в граничных точках M3(0; 0) и M6 (3; 0). Вычислим значения во всех этих точках: |
|
z(M 2 )= −0,25 , |
z(M6 )= 6 . |
3. y = 3 − x, |
0 ≤ x ≤3 . На этой части границы z = 2x2 +(3 − x)2 −3x −3 . Так как |
z′ = 4x −2(3 − x)−3 = 6x −9 = 0 , при x =1,5 , то наибольшее и наименьшее значение может
быть в точках M7 (1,5;1,5) |
и в граничных точках M 4 (0; 3) |
и |
M6 (3; 0). |
Вычислим |
z(M7 )= −0,75 . |
|
|
|
M 4 (0; 3) и |
Следовательно, наибольшее значение функции равно zíàèá |
= 6 |
в точках |
||
M6 (3; 0), а наименьшее zíàèì |
= −1 в стационарной точке M1(1; 1). |
|
|
|
Задача 5.2.9
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x y в области x2 + y2 ≤1 .
Решение
Вычислим частные производные
∂z = y = 0
∂x .
∂z = x = 0∂y
Стационарная точка M1(0; 0) принадлежит области x2 + y2 ≤1 (рис. 5.2.3). Значение функции в этой точке z(M1)= 0 .
Рис. 5.2.3. |
47
Исследование функции на границе области – задача условного экстремума функции
z = xy |
при |
условии |
x2 + y2 =1 . |
Функция |
Лагранжа |
имеет |
вид |
L(x, y, λ)= xy +λ(x2 + y2 −1). Стационарные точки определяются из системы |
|
||||||
∂∂Lx = y + 2λx = 0∂
∂Ly = x + 2λy = 0 .
|
Вычитая |
|
из |
первого |
уравнения |
второе, |
получим: |
(y − x)−2λ(y − x)= 0 , |
|||||||||||
(y − x)(1−2λ)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y = x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
||
|
Подставляя |
|
в |
третье уравнение, |
получим точки: |
M 2 |
|
|
|
; |
|
и |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
M3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
;− |
|
. |
Не |
выясняя, будет ли |
в |
этих |
точках |
экстремум, |
|
вычислим: |
|||||||
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z(M 2 )= z(M3 )= 12 .
|
При |
λ = |
1 |
y = −x . |
Подставляя |
это в |
третье уравнение, |
получим |
точки |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 4 |
|
1 |
|
1 |
|
|
M5 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
;− |
|
|
и |
− |
|
; |
|
. |
Значения |
функции в этих |
точках |
равны: |
|||
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z(M 4 )= z(M5 )= − 12 .
|
Следовательно, |
наибольшее |
значение функции |
равно |
zíàèá |
= |
1 |
в точках |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
M 2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
M3 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
а наименьшее zíàèì |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
и |
− |
|
|
;− |
|
|
, |
= − |
2 |
в стационарных точках |
||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
M 4 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
M5 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
;− |
|
|
и |
− |
|
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
48