- •5.1. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Определение 5.1.1
- •Задача 5.1.1
- •Задача 5.1.2
- •Задача 5.1.3
- •Определение 5.1.2
- •Определение 5.1.3
- •Теорема 5.1.1
- •Определение 5.1.4
- •Задача 5.1.4
- •Определение 5.1.5
- •Определение 5.1.6
- •Определение 5.1.7
- •Определение 5.1.8
- •Определение 5.1.8
- •Задача 5.1.5
- •Задача 5.1.6
- •Определение 5.1.9
- •Определение 5.1.10
- •Задача 5.1.7
- •Определение 5.1.11
- •Задача 5.1.8
- •Решение
- •Определение 5.1.12
- •Задача 5.1.9
- •Задача 5.1.10
- •Задача 5.1.11
- •Определение 5.1.13
- •Определение 5.1.14
- •Теорема 5.1.1
- •Доказательство
- •Определение 5.1.15
- •Определение 5.1.16
- •Задача 5.1.12
- •Теорема 5.1.2
- •Теорема 5.1.3
- •Определение 5.1.17
- •Определение 5.1.18
- •Задача 5.1.13
- •Решение
- •Задача 5.1.14
- •Решение
- •Задача 5.1.15
- •Решение
- •Теорема 5.1.4
- •Доказательство
- •Теорема 5.1.5
- •Задача 5.1.16
- •Решение
- •5.1.5. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости
- •Определение 5.1.19
- •Теорема 5.1.6. (Необходимое условие дифференцируемости)
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.17
- •Теорема 5.1.7. (Достаточное условие дифференцируемости).
- •Доказательство
- •5.1.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •Теорема 5.1.8
- •Доказательство
- •Задача 5.1.18
- •Решение
- •Следствие 1
- •Задача 5.1.19
- •Решение
- •Задача 5.1.20
- •Решение
- •5.1.8. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его свойства. Инвариантность формулы дифференциала
- •Определение 5.1.20
- •Задача 5.1.21
- •Решение
- •Теорема 5.1.9
- •Задача 5.1.22
- •Решение
- •5.1.9. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- •Теорема 5.1.9
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.23
- •Решение
- •5.1.10. Приближенные вычисления и оценка погрешностей
- •Задача 5.1.23
- •Решение
- •Определение 5.1.21
- •Теорема 5.1.10
- •Задача 5.1.24
- •Решение
- •Определение 5.1.22
- •Теорема 5.1.11
- •Доказательство
- •Задача 5.1.25
- •Решение
- •Задача 5.1.26
- •Решение
- •5.1.12. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных производных функции двух переменных, заданной неявно.
- •Определение 5.1.23
- •Теорема 5.1.12
- •Доказательство
- •Задача 5.1.27
- •Решение
- •Задача 5.1.28
- •Решение
- •Задача 5.1.29
- •Решение
- •Определение 5.1.23
- •Теорема 5.1.13
- •Задача 5.1.30
- •Решение
- •5.1.13. Градиент и производная по направлению
- •Определение 5.1.24
- •Задача 5.1.31
- •Решение
- •Определение 5.1.25
- •Теорема 5.1.14
- •Доказательство
- •Свойства градиента
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •5.1.15. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •Теорема 5.1.14
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.32
- •5.2. Экстремумы функций нескольких переменных
- •5.2.1. Линейные операторы. Матрица линейного оператора
- •Определение 5.2.1
- •Задача 5.2.1
- •Решение
- •Задача 5.2.2
- •Решение
- •5.2.2. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Определение 5.2.2
- •Задача 5.2.3
- •Решение
- •5.2.3. Квадратичные формы
- •Определение 5.2.3
- •Определение 5.2.4
- •Задача 5.2.4
- •Решение
- •5.2.4. Экстремум функции двух переменных
- •Определение 5.2.5
- •Определение 5.2.6
- •Теорема 5.2.1
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 5.2.7
- •Теорема 5.2.2
- •Доказательство
- •Задача 5.2.5
- •Теорема 5.2.3
- •Доказательство
- •Задача 5.2.6
- •Решение
- •5.2.5. Экстремум функций n переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Задача 5.2.7
- •Решение
- •5.2.6. Условный экстремум
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •5.2.7. Условный экстремум функции двух переменных
- •5.2.8. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
- •Теорема 5.2.4
- •Задача 5.2.8
- •Решение
- •Задача 5.2.9
- •Решение
∂2w |
= 2 |
, |
∂2w |
= |
∂2w |
= |
∂2w |
= 0 |
. Тогда второй дифференциал в стационарной точке |
|
∂z2 |
∂x∂y |
∂x∂z |
∂y∂z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
равен:
d 2w =12x2 (dx)2 + 2(dy)2 + 2(dz)2 = 2 (6(dx)2 + (dy)2 )≥ 0 .
Следовательно, точка M0 – точка минимума.
5.2.6. Условный экстремум
Пусть функция |
f (x1, x2 ,..., xn ) |
определена в области |
D Rn , |
а M0 (x10, x20,..., xn0 ) – |
||
внутренняя точка этой области. |
Точка M 0 называется |
точкой |
условного минимума |
|||
(максимума) функции |
f (x1, x2 ,..., xn ), если существует окрестность этой точки Uδ(M0 ), |
|||||
|
|
|
|
• |
|
|
такая, что для всех |
точек |
M (x1, x2 ,..., xn ) U δ(M0 ) и |
удовлетворяющих условиям |
|||
ϕk (x1, x2 ,..., xn )= 0 , |
|
при |
всех |
k =1, 2, ..., m выполняется |
f (M )> f (M0 ) или |
|
соответственно f (M )< f (M0 ). |
|
|
|
|||
Если ставится задача исследовать на экстремум функцию f (x1, x2 ,..., xn ) при условиях |
||||||
ϕk (x1, x2 ,..., xn )= 0 , |
k =1, 2, ..., m , |
то составляют так называемую функцию Лагранжа: |
||||
|
m |
|
|
|
|
|
L = f (x1, x2,..., xn )+ ∑λk ϕk (x1, x2 ,..., xn ), в которой числа |
λk , k =1, 2, ..., m называются |
|||||
k =1
множителями Лагранжа.
Функцию Лагранжа рассматривают как функцию n +m переменных L(x1, x2 ,..., xn , λ1, λ2 , ..., λm ). Необходимые и достаточные условия условного экстремума функции f (x1, x2 ,..., xn ) совпадают с соответствующими условиями безусловного экстремума функции Лагранжа.
Необходимое условие экстремума
Если функция L(x1, x2 ,..., xn , λ1, λ2 , ..., λm ) дифференцируема в окрестности точки
M0 (x10 , x20 ,..., xn0 , λ01, λ02 , ..., λ0m )и имеет в этой точке экстремум (максимум или минимум),
|
|
∂L |
(M |
|
)= 0 |
|
|
|
то |
|
|
0 |
, при всех i =1, 2, ..., n и |
k =1, 2, ..., m . |
|||
∂x |
||||||||
|
|
|
||||||
|
ϕki (M0 )= 0 |
|
|
|||||
Достаточные условия экстремума
Если M0 (x10 , x20 ,..., xn0 , λ01, λ02 , ..., λ0m )– стационарная точка дважды дифференцируемой функции L(x1, x2 ,..., xn , λ1, λ2 , ..., λm ) и если в некоторой окрестности этой точки второй дифференциал d 2 f (M0 )> 0 , то функция Лагранжа имеет в этой точке минимум, а функция f (x1, x2 ,..., xn ) в точке (x10 , x20 ,..., xn0 )– условный минимум.
Если в некоторой окрестности точки M0 второй дифференциал d 2 f (M0 )< 0 , то функция Лагранжа имеет в этой точке максимум, а функция f (x1, x2 ,..., xn ) в точке
(x10 , x20 ,..., xn0 )– условный максимум.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если функция Лагранжа не имеет в точке M0 экстремума, то это еще не означает, что у функции f (x1, x2 ,..., xn ) в точке (x10 , x20 ,..., xn0 ) при условиях ϕk (x1, x2 ,..., xn )= 0 , k =1, 2, ..., m , нет экстремума.
45