y

i

j

x

Рис.5.2.1.

1

0

0

0

0

0

Следовательно, матрицей заданного оператора является матрица A =

.

0

0

1

Перейдем к базису векторов er1, er2, e3 . Матрица перехода имеет вид

1

0

1

2

−1

1

H =

.

3

2

4

Найдем обратную к ней матрицу

−6

2

1

1

H −1 = −5 1

.

7

− 2

−1

′

= H

−1

A H , получим

Тогда, применяя формулу A

′

−6 2

1 1 0 0

1 0 1

−5 1

0 0 0

2 −1 1

A

=

1

=

7

−2

0 0 1

3 2 4

−1

−6 0 1

1 0 1

−3 2 − 2

−5 0 1

2

−1 1

=

− 2 2 −1

=

.

7 0

3 2 4

4 − 2 3

−1

5.2.2. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение 5.2.2

a

a

...

a

11

12

1n

Пусть квадратная матрица

a21

a22 ...

a2n

– матрица линейного оператора

A =

...

... ... ...

a

a

...

a

~

n1

n2

nn

Rn .

Ненулевой

вектор x называется

собственным

A в линейном пространстве

~

вектором матрицы A и оператора A , если выполняется:

~ r

r

(5.2.1)

Ax = λx

или Ax = λx ,

(A −λE) x = 0 ,

(5.2.2)

7

−12

6

−19

10

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы A = 10

.

−24

13

12

Решение

Для собственных чисел справедливо равенство:

7 −λ

−12

6

10 −19 −λ

10

= 0 .

12

−24

13 −λ

Прибавим ко второму столбцу первый, умноженный на 2. Получим:

7 −λ

0

6

10

1−λ

10

= 0 .

12

2 −2λ

13 −λ

Из второго столбца можно вынести множитель 1 −λ :

(1−λ)

7 −λ

0

6

= 0 .

10 1

10

12

2

13 −λ

разложения

(1−λ)

7 −λ

0

6

= 0 , (1−λ)

7 −λ

6

= 0 ,

10 1

10

−8

0

−7 −λ

−8 −7 −λ

(1 −λ) ((7 −λ)(−7 −λ)+ 48)= 0 , (1−λ) (λ2 −49 + 48)= 0 ,

Следовательно, (λ −1)2 (λ +1)= 0 . Собственные числа: λ1 =1,

λ2 = −1 .

6

−12

6

1. λ1

=1

− 20

10

. Матрица однородной системы A −λE = 10

.

− 24

12

12

Решение однородной системы:

x1

x2

x3

x1

x2 x3

6

−12 6

0

: 6

− 20

~ (1

− 2 1

0)

10

10

0

− 24

12

12

0