- •5.1. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Определение 5.1.1
- •Задача 5.1.1
- •Задача 5.1.2
- •Задача 5.1.3
- •Определение 5.1.2
- •Определение 5.1.3
- •Теорема 5.1.1
- •Определение 5.1.4
- •Задача 5.1.4
- •Определение 5.1.5
- •Определение 5.1.6
- •Определение 5.1.7
- •Определение 5.1.8
- •Определение 5.1.8
- •Задача 5.1.5
- •Задача 5.1.6
- •Определение 5.1.9
- •Определение 5.1.10
- •Задача 5.1.7
- •Определение 5.1.11
- •Задача 5.1.8
- •Решение
- •Определение 5.1.12
- •Задача 5.1.9
- •Задача 5.1.10
- •Задача 5.1.11
- •Определение 5.1.13
- •Определение 5.1.14
- •Теорема 5.1.1
- •Доказательство
- •Определение 5.1.15
- •Определение 5.1.16
- •Задача 5.1.12
- •Теорема 5.1.2
- •Теорема 5.1.3
- •Определение 5.1.17
- •Определение 5.1.18
- •Задача 5.1.13
- •Решение
- •Задача 5.1.14
- •Решение
- •Задача 5.1.15
- •Решение
- •Теорема 5.1.4
- •Доказательство
- •Теорема 5.1.5
- •Задача 5.1.16
- •Решение
- •5.1.5. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости
- •Определение 5.1.19
- •Теорема 5.1.6. (Необходимое условие дифференцируемости)
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.17
- •Теорема 5.1.7. (Достаточное условие дифференцируемости).
- •Доказательство
- •5.1.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •Теорема 5.1.8
- •Доказательство
- •Задача 5.1.18
- •Решение
- •Следствие 1
- •Задача 5.1.19
- •Решение
- •Задача 5.1.20
- •Решение
- •5.1.8. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его свойства. Инвариантность формулы дифференциала
- •Определение 5.1.20
- •Задача 5.1.21
- •Решение
- •Теорема 5.1.9
- •Задача 5.1.22
- •Решение
- •5.1.9. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- •Теорема 5.1.9
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.23
- •Решение
- •5.1.10. Приближенные вычисления и оценка погрешностей
- •Задача 5.1.23
- •Решение
- •Определение 5.1.21
- •Теорема 5.1.10
- •Задача 5.1.24
- •Решение
- •Определение 5.1.22
- •Теорема 5.1.11
- •Доказательство
- •Задача 5.1.25
- •Решение
- •Задача 5.1.26
- •Решение
- •5.1.12. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных производных функции двух переменных, заданной неявно.
- •Определение 5.1.23
- •Теорема 5.1.12
- •Доказательство
- •Задача 5.1.27
- •Решение
- •Задача 5.1.28
- •Решение
- •Задача 5.1.29
- •Решение
- •Определение 5.1.23
- •Теорема 5.1.13
- •Задача 5.1.30
- •Решение
- •5.1.13. Градиент и производная по направлению
- •Определение 5.1.24
- •Задача 5.1.31
- •Решение
- •Определение 5.1.25
- •Теорема 5.1.14
- •Доказательство
- •Свойства градиента
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •5.1.15. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •Теорема 5.1.14
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.32
- •5.2. Экстремумы функций нескольких переменных
- •5.2.1. Линейные операторы. Матрица линейного оператора
- •Определение 5.2.1
- •Задача 5.2.1
- •Решение
- •Задача 5.2.2
- •Решение
- •5.2.2. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Определение 5.2.2
- •Задача 5.2.3
- •Решение
- •5.2.3. Квадратичные формы
- •Определение 5.2.3
- •Определение 5.2.4
- •Задача 5.2.4
- •Решение
- •5.2.4. Экстремум функции двух переменных
- •Определение 5.2.5
- •Определение 5.2.6
- •Теорема 5.2.1
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 5.2.7
- •Теорема 5.2.2
- •Доказательство
- •Задача 5.2.5
- •Теорема 5.2.3
- •Доказательство
- •Задача 5.2.6
- •Решение
- •5.2.5. Экстремум функций n переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Задача 5.2.7
- •Решение
- •5.2.6. Условный экстремум
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •5.2.7. Условный экстремум функции двух переменных
- •5.2.8. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
- •Теорема 5.2.4
- •Задача 5.2.8
- •Решение
- •Задача 5.2.9
- •Решение
5.2. Экстремумы функций нескольких переменных
Линейный оператор, матрица линейного оператора. Собственные числа и собственные вектора линейного оператора. Квадратичные формы, приведение квадратичной формы к каноническому виду. Экстремумы функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных, непрерывной в замкнутой области.
5.2.1. Линейные операторы. Матрица линейного оператора
Определение 5.2.1
Линейным оператором (линейным преобразованием) в линейном пространстве
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется отображение A этого пространства на себя, обладающее свойствами: |
|||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) A(x + y)= Ax + Ay ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) A(αx) |
= αAx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x и y , а α – вещественное число. |
||||||||||||
где Ax и |
Ay – образы элементов (векторов) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
Rn → Rn |
и если вектор |
r |
Rn , а вектор |
v |
|||||||||||
Если линейный оператор A : |
x |
y Rn – |
|||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
~r |
|
|
|
|
|
|
||
образ x при заданном отображении, то это обозначают: y |
Ax . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Если при этом в линейном пространстве Rn задан базис |
ev |
, ev |
,...,ev |
|
, то соответствие |
||||||||||||||||||
между векторами xr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
n |
|
|
||||
и y можно записать в виде матричного уравнения: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = A y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где координаты векторов |
v |
x2 |
|
r |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v v |
|
v |
|
||||||
x |
= |
и |
y |
= |
|
заданы в базисе |
e1, e2 |
,...,en , а матрица |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
|
называется |
матрицей |
оператора |
~ |
|
Ее |
элементы |
||||||||||||
A = |
... ... |
... |
|
|
A . |
|
|||||||||||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
a |
|
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
|
nn |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляются по формуле: |
|
|
|
|
|
|
является i -й координатой базисного |
||||||||||||||||
aij = Aeij , в которой eij |
|||||||||||||||||||||||
вектора erj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5.2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ r |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
n |
. |
|
|
|
|
||||||
Выписать матрицу оператора подобия: Ax |
= λx , если |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть координаты вектора xr = x2 |
|
заданы в базисе |
ev , ev |
,...,ev . |
|
По определению |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора подобия можно записать:
34
|
|
|
|
|
~ r |
r |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae |
= λe |
|
= λe |
+0 e |
|
+... +0 e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
~ r1 |
r1 |
r1 |
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
rn |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ae2 = λe2 = |
0 e1 +λe2 +... +0 en |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
............................................... . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ r |
r |
= |
r |
|
+ |
r |
|
|
+... |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ae |
= λe |
|
0 e |
|
0 e |
|
|
+ λe |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
n |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ ... |
0 |
|
|
|
|
|
Матрицей |
оператора |
|
подобия будет |
матрица |
|
|
0 |
|
|
, |
матрица |
|||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
|
... ... |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ... |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
коэффициентов при базисных векторах в полученной системе. Действительно, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
λ |
0 |
... |
|
0 |
x |
|
|
|
λx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
... |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r |
|
λ |
|
0 |
x2 |
|
|
λx2 |
|
x2 |
|
r |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A x = |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
... |
|
|
= λ |
|
|
= λx . |
|
|
|
|
||
|
|
|
... ... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
|
λ |
x |
|
|
|
λx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если A матрица линейного преобразования |
|
|
y = A x |
в базисе ev1, ev2,...,evn |
, |
а матрица |
||||||||||||||||||||
′ |
этого же |
преобразования |
y |
′ |
= |
′ |
|
|
′ |
в |
новом |
базисе |
v′ |
v′ |
v′ |
||||||||||||
A |
– матрица |
|
A x |
|
e1, |
e2 |
,...,en , то |
||||||||||||||||||||
справедливо соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
−1 |
A H , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A = H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где H – матрица перехода.
Задача 5.2.2
Найти матрицу линейного оператора в R3 , который производит проектирование в
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
1 |
r |
0 |
|
|
r |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
координатную плоскость xOz |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в базисе i |
= |
, |
j |
= |
, |
k |
|
, а также в базисе |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r |
|
1 |
r |
|
0 |
r |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e1 |
= |
|
, e2 |
= |
−1 |
, e3 |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
r |
|
|
0 |
r |
|
0 |
||
|
Рассмотрим вектор |
xr R3 |
в каноническом базисе |
|
|
0 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
0 |
|
||||||||||||||||
|
i |
= |
, |
|
j |
|
|
и k |
= |
и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
определим образы базисных векторов при заданной линейном преобразовании.
|
~r |
r |
r |
r |
+ |
Ai |
= i |
=1i |
+0 j |
||
|
~r |
= 0 |
r |
r |
+ |
Aj |
= 0i |
+0 j |
|||
|
~ r |
r |
r |
r |
+ |
|
Ak |
= k |
= 0i |
+0 j |
|
|
|
|
|
|
|
0kr
01kkr, (рис. 5.2.1).
35