Рис. 5.1.10.

Если рассмотреть поверхность

u(x; y; z)= c1 ,

проходящую через

точку

M0 (x0; y0; z0 ), то переход с этой поверхности на поверхность u(x; y; z)= c2 ,

(c2 > c1 )

быстрее всего происходит по нормали к поверхности.

Значит вектор

∂u

(x

, y

, z

0

)

∂x

0

0

∂u

(x , y , z

0

) = grad u(M

0

)

∂y

0

0

∂u

(x

, y

, z

0

)

∂z

0

0

Если поверхность

задана уравнением

z = f (x, y), и функция

f (x, y)

дифференцируема в точке

(x0, y0 ), то уравнение нормали к этой поверхности в точке

M0 (x0, y0, z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), имеет вид:

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

∂z

(x

, y

)

∂z

(x

, y

)

−1

∂x

∂y

0

0

0

0

Следствие 2

Полагая

в

уравнении

касательной

плоскости

z

= z

0

+

∂z

(x , y

)(x − x

)

+

∂z

(x , y

)(y

− y

0

)

,

x

− x

=

x

и

y − y = y ,

можно

∂y

∂x

0 0

0

0 0

0

0

установить,

что dz =

∂z

(x

, y

)

x +

∂z

(x

, y

0

)

y = z − z

0

,

то есть дифференциал функции

∂x

∂y

0

0

0

двух переменных равен приращению аппликаты касательной плоскости.

Задача 5.1.32

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной

уравнением z = ln(x + y2 )в точке (1; 0).

Решение

Частные производные заданной функции равны

∂z

=

1

,

∂z

=

2 y

.

∂x

x

+ y2

∂y

x + y2

Вычислим значения частных производных в точке

(1; 0):

∂z

(1; 0)=1 ,

∂z

(1; 0)= 0 .

Значение функции в точке (1; 0):

∂x

∂y

z0 = ln1 = 0 . Тогда уравнение касательной плоскости

имеет

вид:

z = 0 +1 (x −1)+ 0 (y − 0)

или

z = x −1.

Уравнение

нормали:

x −1

=

y

=

z

.

1

0

−1

5.1.16. Формула Тейлора для функции n переменных

Если функция

w = f (x1, x2 ,..., xn )

n

раз дифференцируема в окрестности точки

M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ),

то

в

некоторой

окрестности

Uδ(M 0 )

эту

функцию

можно

представить в виде

df (x10 ,x20 ,...,xn0 )

d 2 f (x10 ,x20 ,...,xn0 )

0

0

0

f (x1, x2 ,..., xn )=

f (x1

, x2

,..., xn )

+

+

+

(n+1)

1!

2!

d

n

f

0

0

0

d

~

~

~

... +

(x1

,x2 ,...,xn )

+

(x1,x2,...,xn )

,

n!

(n+1)!

где

0

~

0

~

,….,

0

~

< xn ;

а

dxi

в

выражениях для

x1

< x1 < x1 ,

x2

< x2 < x2

xn

< xn

дифференциалов d n f (x10 , x20 ,..., xn0 )полагаются равными xi

− xi0 .

Эта формула называется формулой Тейлора для функции w = f (x1, x2 ,..., xn )

в точке

M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ).

Если

x10 = x20 = ... = xn0 = 0 ,

то

формула

называется

формулой

Маклорена.

Если

dxi = xi − xi0

бесконечно

малые,

то

последний

член

формулы

Тейлора

d

(n+1)

~

~

~

(x1,x2 ,...,xn )

является

бесконечно

малой

более высокого

порядка, чем

каждая из

(n+1)!