
- •5.1. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Определение 5.1.1
- •Задача 5.1.1
- •Задача 5.1.2
- •Задача 5.1.3
- •Определение 5.1.2
- •Определение 5.1.3
- •Теорема 5.1.1
- •Определение 5.1.4
- •Задача 5.1.4
- •Определение 5.1.5
- •Определение 5.1.6
- •Определение 5.1.7
- •Определение 5.1.8
- •Определение 5.1.8
- •Задача 5.1.5
- •Задача 5.1.6
- •Определение 5.1.9
- •Определение 5.1.10
- •Задача 5.1.7
- •Определение 5.1.11
- •Задача 5.1.8
- •Решение
- •Определение 5.1.12
- •Задача 5.1.9
- •Задача 5.1.10
- •Задача 5.1.11
- •Определение 5.1.13
- •Определение 5.1.14
- •Теорема 5.1.1
- •Доказательство
- •Определение 5.1.15
- •Определение 5.1.16
- •Задача 5.1.12
- •Теорема 5.1.2
- •Теорема 5.1.3
- •Определение 5.1.17
- •Определение 5.1.18
- •Задача 5.1.13
- •Решение
- •Задача 5.1.14
- •Решение
- •Задача 5.1.15
- •Решение
- •Теорема 5.1.4
- •Доказательство
- •Теорема 5.1.5
- •Задача 5.1.16
- •Решение
- •5.1.5. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости
- •Определение 5.1.19
- •Теорема 5.1.6. (Необходимое условие дифференцируемости)
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.17
- •Теорема 5.1.7. (Достаточное условие дифференцируемости).
- •Доказательство
- •5.1.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •Теорема 5.1.8
- •Доказательство
- •Задача 5.1.18
- •Решение
- •Следствие 1
- •Задача 5.1.19
- •Решение
- •Задача 5.1.20
- •Решение
- •5.1.8. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его свойства. Инвариантность формулы дифференциала
- •Определение 5.1.20
- •Задача 5.1.21
- •Решение
- •Теорема 5.1.9
- •Задача 5.1.22
- •Решение
- •5.1.9. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- •Теорема 5.1.9
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.23
- •Решение
- •5.1.10. Приближенные вычисления и оценка погрешностей
- •Задача 5.1.23
- •Решение
- •Определение 5.1.21
- •Теорема 5.1.10
- •Задача 5.1.24
- •Решение
- •Определение 5.1.22
- •Теорема 5.1.11
- •Доказательство
- •Задача 5.1.25
- •Решение
- •Задача 5.1.26
- •Решение
- •5.1.12. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных производных функции двух переменных, заданной неявно.
- •Определение 5.1.23
- •Теорема 5.1.12
- •Доказательство
- •Задача 5.1.27
- •Решение
- •Задача 5.1.28
- •Решение
- •Задача 5.1.29
- •Решение
- •Определение 5.1.23
- •Теорема 5.1.13
- •Задача 5.1.30
- •Решение
- •5.1.13. Градиент и производная по направлению
- •Определение 5.1.24
- •Задача 5.1.31
- •Решение
- •Определение 5.1.25
- •Теорема 5.1.14
- •Доказательство
- •Свойства градиента
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •5.1.15. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •Теорема 5.1.14
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Задача 5.1.32
- •5.2. Экстремумы функций нескольких переменных
- •5.2.1. Линейные операторы. Матрица линейного оператора
- •Определение 5.2.1
- •Задача 5.2.1
- •Решение
- •Задача 5.2.2
- •Решение
- •5.2.2. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Определение 5.2.2
- •Задача 5.2.3
- •Решение
- •5.2.3. Квадратичные формы
- •Определение 5.2.3
- •Определение 5.2.4
- •Задача 5.2.4
- •Решение
- •5.2.4. Экстремум функции двух переменных
- •Определение 5.2.5
- •Определение 5.2.6
- •Теорема 5.2.1
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 5.2.7
- •Теорема 5.2.2
- •Доказательство
- •Задача 5.2.5
- •Теорема 5.2.3
- •Доказательство
- •Задача 5.2.6
- •Решение
- •5.2.5. Экстремум функций n переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Задача 5.2.7
- •Решение
- •5.2.6. Условный экстремум
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •5.2.7. Условный экстремум функции двух переменных
- •5.2.8. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
- •Теорема 5.2.4
- •Задача 5.2.8
- •Решение
- •Задача 5.2.9
- •Решение

Доказательство
z
u = C1
x
grad u
u = C2
C1 < C2
y
|
|
|
|
Рис. 5.1.10. |
|
|
|
||
Если рассмотреть поверхность |
u(x; y; z)= c1 , |
|
проходящую через |
точку |
|||||
M0 (x0; y0; z0 ), то переход с этой поверхности на поверхность u(x; y; z)= c2 , |
(c2 > c1 ) |
||||||||
быстрее всего происходит по нормали к поверхности. |
|
|
|
||||||
Значит вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
(x |
, y |
, z |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂x |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
∂u |
(x , y , z |
0 |
) = grad u(M |
0 |
) |
|
||
|
|
||||||||
∂y |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
∂u |
(x |
, y |
, z |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂z |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
направлен по нормали к этой поверхности (рис. 5.1.10).
5.1.15.Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
Учитывая, что для поверхности, заданной уравнением z = f (x, y) или z − f (x, y)= 0
14243
u(x, y )
направленный по нормали к ней градиент имеет вид grad u = − ∂∂fx ir − ∂∂fy rj + kr ,
а также используя уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ), с нормальным вектором n = {A, B, C} в виде
A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C(z − z0 )= 0
можно получить уравнение касательной к поверхности z = f (x, y) плоскости и нормальной к ней кривой.
Теорема 5.1.14
Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0, y0 ), то существует не параллельная оси Oz касательная плоскость к поверхности z = f (x, y) в точке M0 (x0, y0, f (x0, y0 )), уравнение которой имеет вид
z = z0 + ∂∂xz (x0, y0 )(x − x0 )+ ∂∂yz (x0 , y0 )(y − y0 ),
где z0 = f (x0, y0 ).
Следствие 1
Если поверхность |
задана уравнением |
z = f (x, y), и функция |
f (x, y) |
дифференцируема в точке |
(x0, y0 ), то уравнение нормали к этой поверхности в точке |
||
M0 (x0, y0, z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), имеет вид: |
|
|
32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
= |
|
|
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
= |
z − z0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
, y |
) |
|
|
|
|
∂z |
(x |
, y |
) |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следствие 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Полагая |
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательной |
|
|
|
плоскости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
= z |
0 |
+ |
|
∂z |
(x , y |
)(x − x |
|
) |
+ |
|
∂z |
(x , y |
|
)(y |
− y |
0 |
) |
, |
|
|
|
|
x |
− x |
|
= |
x |
|
|
|
|
и |
|
y − y = y , |
можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
0 0 |
0 |
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
установить, |
что dz = |
∂z |
(x |
, y |
) |
|
x + |
∂z |
(x |
|
, y |
0 |
) |
|
y = z − z |
0 |
, |
то есть дифференциал функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
∂y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
двух переменных равен приращению аппликаты касательной плоскости. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 5.1.32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнением z = ln(x + y2 )в точке (1; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Частные производные заданной функции равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
∂z |
|
= |
|
|
2 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
x |
+ y2 |
|
|
|
∂y |
|
x + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Вычислим значения частных производных в точке |
(1; 0): |
∂z |
(1; 0)=1 , |
∂z |
(1; 0)= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Значение функции в точке (1; 0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
||||||||||||||||||||||||||||
z0 = ln1 = 0 . Тогда уравнение касательной плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет |
|
|
вид: |
z = 0 +1 (x −1)+ 0 (y − 0) |
|
|
|
|
или |
|
|
|
z = x −1. |
Уравнение |
|
нормали: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
= |
|
y |
= |
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.1.16. Формула Тейлора для функции n переменных |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Если функция |
w = f (x1, x2 ,..., xn ) |
|
n |
|
|
|
|
раз дифференцируема в окрестности точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ), |
то |
|
в |
|
некоторой |
|
окрестности |
|
|
Uδ(M 0 ) |
эту |
функцию |
можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df (x10 ,x20 ,...,xn0 ) |
|
|
|
d 2 f (x10 ,x20 ,...,xn0 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x1, x2 ,..., xn )= |
f (x1 |
, x2 |
,..., xn ) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n+1) |
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
n |
|
f |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
d |
~ |
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... + |
|
|
(x1 |
,x2 ,...,xn ) |
+ |
|
|
|
(x1,x2,...,xn ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n+1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
|
|
0 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
,…., |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
~ |
|
< xn ; |
|
|
|
а |
|
|
dxi |
в |
выражениях для |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
|
< x1 < x1 , |
|
x2 |
< x2 < x2 |
|
xn |
|
< xn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциалов d n f (x10 , x20 ,..., xn0 )полагаются равными xi |
− xi0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Эта формула называется формулой Тейлора для функции w = f (x1, x2 ,..., xn ) |
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ). |
Если |
|
|
x10 = x20 = ... = xn0 = 0 , |
|
то |
|
|
|
формула |
называется |
формулой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Маклорена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Если |
dxi = xi − xi0 |
|
бесконечно |
малые, |
|
|
то |
|
последний |
член |
формулы |
Тейлора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
(n+1) |
|
~ |
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(x1,x2 ,...,xn ) |
|
является |
бесконечно |
малой |
более высокого |
порядка, чем |
каждая из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n+1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно малых dxi .
33