Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
раздел 5 конспекта лекций.pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
18.04.2015
Размер:
917.12 Кб
Скачать

Доказательство

z

u = C1

x

grad u

u = C2

C1 < C2

y

 

 

 

 

Рис. 5.1.10.

 

 

 

Если рассмотреть поверхность

u(x; y; z)= c1 ,

 

проходящую через

точку

M0 (x0; y0; z0 ), то переход с этой поверхности на поверхность u(x; y; z)= c2 ,

(c2 > c1 )

быстрее всего происходит по нормали к поверхности.

 

 

 

Значит вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

(x

, y

, z

0

)

 

 

 

 

 

 

 

x

0

0

 

 

 

 

 

 

u

(x , y , z

0

) = grad u(M

0

)

 

 

 

y

0

0

 

 

 

 

 

u

(x

, y

, z

0

)

 

 

 

 

 

 

 

z

0

0

 

 

 

 

 

направлен по нормали к этой поверхности (рис. 5.1.10).

5.1.15.Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Учитывая, что для поверхности, заданной уравнением z = f (x, y) или z f (x, y)= 0

14243

u(x, y )

направленный по нормали к ней градиент имеет вид grad u = − fx ir fy rj + kr ,

а также используя уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ), с нормальным вектором n = {A, B, C} в виде

A(x x0 )+ B(y y0 )+C(z z0 )= 0

можно получить уравнение касательной к поверхности z = f (x, y) плоскости и нормальной к ней кривой.

Теорема 5.1.14

Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0, y0 ), то существует не параллельная оси Oz касательная плоскость к поверхности z = f (x, y) в точке M0 (x0, y0, f (x0, y0 )), уравнение которой имеет вид

z = z0 + xz (x0, y0 )(x x0 )+ yz (x0 , y0 )(y y0 ),

где z0 = f (x0, y0 ).

Следствие 1

Если поверхность

задана уравнением

z = f (x, y), и функция

f (x, y)

дифференцируема в точке

(x0, y0 ), то уравнение нормали к этой поверхности в точке

M0 (x0, y0, z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), имеет вид:

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

=

 

 

 

 

 

y y0

 

 

 

=

z z0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

, y

)

 

 

 

 

z

(x

, y

)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

касательной

 

 

 

плоскости

 

z

= z

0

+

 

z

(x , y

)(x x

 

)

+

 

z

(x , y

 

)(y

y

0

)

,

 

 

 

 

x

x

 

=

x

 

 

 

 

и

 

y y = y ,

можно

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0 0

0

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

установить,

что dz =

z

(x

, y

)

 

x +

z

(x

 

, y

0

)

 

y = z z

0

,

то есть дифференциал функции

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двух переменных равен приращению аппликаты касательной плоскости.

 

 

 

 

Задача 5.1.32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной

уравнением z = ln(x + y2 )в точке (1; 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частные производные заданной функции равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

=

 

 

 

1

 

 

 

 

 

,

 

 

 

z

 

=

 

 

2 y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

+ y2

 

 

 

y

 

x + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим значения частных производных в точке

(1; 0):

z

(1; 0)=1 ,

z

(1; 0)= 0 .

Значение функции в точке (1; 0):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

z0 = ln1 = 0 . Тогда уравнение касательной плоскости

имеет

 

 

вид:

z = 0 +1 (x 1)+ 0 (y 0)

 

 

 

 

или

 

 

 

z = x 1.

Уравнение

 

нормали:

 

x 1

 

=

 

y

=

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1.16. Формула Тейлора для функции n переменных

 

 

 

 

 

 

Если функция

w = f (x1, x2 ,..., xn )

 

n

 

 

 

 

раз дифференцируема в окрестности точки

M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ),

то

 

в

 

некоторой

 

окрестности

 

 

Uδ(M 0 )

эту

функцию

можно

представить в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df (x10 ,x20 ,...,xn0 )

 

 

 

d 2 f (x10 ,x20 ,...,xn0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x1, x2 ,..., xn )=

f (x1

, x2

,..., xn )

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n+1)

 

 

1!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

n

 

f

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

d

~

~

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... +

 

 

(x1

,x2 ,...,xn )

+

 

 

 

(x1,x2,...,xn )

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n+1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

0

~

 

 

 

 

 

 

 

0

 

~

 

 

 

 

 

 

 

,….,

 

 

 

 

 

0

 

 

 

~

 

< xn ;

 

 

 

а

 

 

dxi

в

выражениях для

 

x1

 

< x1 < x1 ,

 

x2

< x2 < x2

 

xn

 

< xn

 

 

 

 

 

дифференциалов d n f (x10 , x20 ,..., xn0 )полагаются равными xi

xi0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта формула называется формулой Тейлора для функции w = f (x1, x2 ,..., xn )

в точке

M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ).

Если

 

 

x10 = x20 = ... = xn0 = 0 ,

 

то

 

 

 

формула

называется

формулой

Маклорена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

dxi = xi xi0

 

бесконечно

малые,

 

 

то

 

последний

член

формулы

Тейлора

 

d

(n+1)

 

~

~

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1,x2 ,...,xn )

 

является

бесконечно

малой

более высокого

порядка, чем

каждая из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n+1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бесконечно малых dxi .

33