Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

раздел 5 конспекта лекций.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

917.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

5.1.12. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных производных функции двух переменных, заданной неявно.

Определение 5.1.23

Функция w = f (x1, x2 ,..., xn ) называется заданной неявно в окрестности точки

(x10 , x20 ,..., xn0 , w0 ), если задано уравнение F(x1, x2 ,..., xn , w)= 0 и если:

F (x10 , x20 ,..., xn0 , w0 )= 0 ;

M (x1, x2 ,..., xn ) Uδ(M0 ) единственное w Uδ(w0 ): F(x1, x2 ,..., xn , w)= 0 .

Вчастности, уравнение F(x, y, z)= 0 в окрестностях тех точек (x0 , y0 , z0 ), для

которых уравнение F(x0 , y0 , z)= 0 имеет хотя бы один корень z0 , задает неявную функцию z = f (x, y), значения которой равны корням этого уравнения.

При этом уравнение F(x, y, z)= 0 иногда может быть разрешено относительно z , а

иногда нет. Не следует путать вопрос о существовании неявной функции с вопросом получения ее в виде явной зависимости. Следующая теорема дает условия существования, единственности и дифференцируемости неявной функции.

Теорема 5.1.12

Если функция F (x1, x2 ,..., xn , w):

непрерывна в окрестности точки (x10 , x20 ,..., xn0 , w0 );

имеет в этой окрестности непрерывные частные производные по всем переменным;

F(x10 , x20 ,..., xn0 , w0 )= 0 ;

Fw′ (x10 , x20 ,..., xn0 , w0 )≠ 0 ;

то уравнение	F(x , x	2	,..., x	n	, w)= 0	задает в	окрестности точки	(x0	, x0	,..., x0	, w )
	1	2		n			w = f (x1, x2 ,..., xn ),	1	2	n	0
однозначную	дифференцируемую					функцию	w = f (x1, x2 ,..., xn ),	для		которой

справедливо w0 = F (x10 , x20 ,..., xn0 ).

Доказательство

В силу сложности и громоздкости доказательства этой теоремы, рассмотрим ее

доказательство только для функции двух переменных

y = f (x), заданной неявной

зависимостью

F(x, y)= 0 ,

где

функция

F(x, y)

непрерывна и дифференцируема в

некоторой δ

окрестности

точки

(x0 , y0 )

Fy′ (x0 , y0 )≠ 0 .

Если точка

(x0 +

x, y0 +

y) принадлежит этой окрестности, то

F(x0 , y0 )= 0 и F(x0 + x, y0 + y)= 0 ,

тогда

и F (x0 +

x, y0 +

y)− F (x0 , y0 )= 0 . Для

левой части последнего равенства

можно использовать теорему Лагранжа.

F (x0 + x, y0 + y)− F (x0 , y0 )= [F (x0 + x, y0 + y)− F (x0 + x, y0 )]+

+[F(x0

+ x, y0 )− F(x0 , y0 )]=

∂F

(x0 +

x, y0 )

y +

∂F

(x0 , y0 )

x = 0 .

∂y

∂x

y = −

∂F

(x +

x, y )

Из последнего равенства следует, что

∂x

. Переходя в нем к пределу при

(x , y )

∂F

∂y

x → 0 и учитывая, что частные производные непрерывны, получим


f ′(x0 )=	lim	−
f ′(x0 )=	lim	−
	x→0

∂∂F (x0 , y0 )

∂∂F (xx0 + x, y0 ) = − y

∂∂F (x0 , y0 )

∂x .

∂F (x0 , y0 ) y

ЗАМЕЧАНИЕ

Мы не только доказали дифференцируемость функции

y = f (x), но и получили формулу для

вычисления ее производной.

∂F

y′x = −

∂x

∂F

∂y

Аналогично доказывается, что функция двух

переменных z = f (x, y), заданная

уравнением F(x, y, z)= 0 , где F(x, y, z)

- дифференцируемая по всем переменным

функция, дифференцируема в точках,

в которых

∂F

≠ 0 и ее частные производные

∂z

вычисляются по формулам

∂z = −

∂F

∂z

∂F

∂x

;

= −

∂y

∂x

∂F

∂y

∂F

∂z

Задача 5.1.27

Выясните, в каких точках дифференцируема функция y = f (x), заданная неявно, и

вычислите ее производную, если xy + exy = 0 .

Решение

(x, y)=

+ exy .

Поэтому

функция

дифференцируема

во всех

точках,

за

исключением

тех,

где

∂F

= 0 .

Поскольку

∂F

= −

+ exy x ,

то

функция

∂y

дифференцируема везде,

где

выполняется

условие

−

+ exy x ≠ 0 .

Так

как

∂F

+ exy

y , то

∂x

+exy y

y′x

= −

−

+exy x

Задача 5.1.28

Выясните, в каких точках дифференцируема функция z = f (x, y), заданная неявно, и

вычислите ее производную, если xz + z cos(xy)= 0 .

Решение

Так как F(x, y, z)= xz + z cos(xy), то функция дифференцируема во всех точках, за исключением тех, в которых ∂∂Fz = 0 . ∂∂Fz = − zx2 + cos(xy), следовательно, функция

дифференцируема везде, где выполняется условие − zx2 + cos(xy)≠ 0 . Учитывая, что

∂F

1 − sin(xy) zy и

∂F

= −sin(xy) zx , можно записать

∂x

∂y

∂z

−sin(xy)zy

;

∂z

= −

−sin(xy)zx

= −

∂x

−

+cos(xy)

∂y

−

+cos(xy)

5.1.13. Производные неявных функций, заданных системой уравнений.

Определитель Якоби

Задача 5.1.29

= −у

∂u

Функции u(x, y) и

w(x, y) заданы системой

ху +

. Вычислить

∂x

∂y

= 0

uw + y

∂w

∂w .

∂x

∂y

Решение

Продифференцируем оба уравнения системы по

y + 2u

∂u

= 0

∂u

= −y

∂x

или

. Решая

∂u

∂w

∂u

∂w

∂x w +u ∂x = 0

∂x

+u ∂x = 0

неизвестных

∂u

∂w

, получим

∂x

переменной x . Получим

эту систему относительно

− y

∂u

= − yu

= −

;

∂w

w 0

∂x

2u 0

∂x

2u 0

2u 2

Теперь продифференцируем оба уравнения системы по переменной y . Получим

	x + 2u	∂u	= −1
		∂y
			, или
∂u		∂w

	w + u		+ 2 y = 0
∂y		∂y

	2u	∂u	= −x −1
	2u	∂y	= −x −1
		∂y				. Если решить эту систему
∂u				∂w		. Если решить эту систему
∂u				∂w
	w	+ u			= −2 y
∂y	w	+ u		∂y	= −2 y
∂y				∂y

∂u ∂w

относительно производных ∂y и ∂y , то формулы для них будут иметь вид

− x −1 0

2u − x −1

∂u

− 2 y u

= − xu −u

= −

x +1

∂w

w − 2 y

∂y

2u 0

∂y

2u 0

2u 2

w u

= − 4 yu + xw + w .

2u 2

Из полученных формул для частных производных	∂u	,	∂u	,	∂w	и	∂w	видно, что
	∂x		∂y		∂x		∂y

неявные функции u(x, y) и w(x, y) не являются дифференцируемыми в точках, в

которых определитель

= 0 ,

или

u = 0 . Такой определитель называется

определителем Якоби.

Определение 5.1.23

(x, y,u, w)= 0

Если неявные функции

u(x, y) и

w(x, y)

, то

заданы системой F

(x, y,u, w)= 0

определитель I =

∂F1 ∂F1

∂∂Fu

∂∂Fw

называется определителем Якоби.

∂u

∂w

Имеет место следующая теорема, которая легко обобщается на случай большего числа переменных.

Теорема 5.1.13

Если задана

F (x, y,u, w)= 0

где

F (x, y, u, w) и

(x, y, u, w)

система

F2 (x, y,u, w)= 0

непрерывные

дифференцируемые по

всем

переменным

окрестности точки

M 0 (x0 , y0 ,u0 , w0 ),

являющейся решением

системы,

функции

если

точке M 0

I =

∂F1 ∂F1

≠ 0 ,

u(x, y) и

определитель

Якоби

∂∂Fu

∂∂Fw

то

система

определяет

функции

∂u

∂w

w(x, y), которые являются дифференцируемыми в точке M0 .

Задача 5.1.30

	2		2		2		2	= 0 задает
Определите, при каком условии система уравнений u		− w		+ x		+ y		= 0 задает
		uw + xy = 0

дифференцируемые функции u(x, y) и w(x, y), и вычислите du , dw и d 2u .

Решение

Вычислим определитель Якоби I = 2wu −u2w = 2u 2 + 2w2 . Поскольку I = 0 только

при u = w = 0 , то во всех точках, кроме начала координат заданная система определяет две неявные дифференцируемые функции u(x, y) и w(x, y).

Теперь вычислим du , дифференцируя оба уравнения системы

+ y

− w

)= 0

2xdx + 2 ydy

+ 2udu − 2wdw = 0

(5.1.3)

d (x

, или

d(uw + xy)= 0

u dw + w du + dx y + dy x = 0

2udu − 2wdw = −2xdx − 2 ydy

w du +u dw = −y dx − x dy

Решая последнюю систему относительно du , получим

du = −

xu + yw

dx −

yu + xw

dy , dw =

− yu + xw dx +

xu + yw

dy .

u 2 + w2

Вычислим вторые дифференциалы в системе (5.1.3)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.2019733.18 Кб66Рабочая программа по численным методам123.doc
#
18.04.201541.16 Кб464Развитие Эвм.docx
#
01.07.202525.9 Кб0раздел 2, концепции современного естествознания...docx
#
18.04.2015972.19 Кб107раздел 3 конспекта лекций.pdf
#
18.04.2015752.06 Кб80раздел 4 конспекта лекций.pdf
#
18.04.2015917.12 Кб50раздел 5 конспекта лекций.pdf
#
01.04.2025403.46 Кб3раздел1..doc
#
01.04.2025437.25 Кб5Раздел2.doc
#
14.04.20191.13 Mб31Ракетный Крейсер Слава.doc
#
18.04.2015505.62 Кб319Расчет винтового домкрата З — копия.docx
#
12.09.2019646.66 Кб44Расчет винтового домкрата Ярвепер.doc