- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •ПО ТЕМЕ 4
- •Образец типового расчета
- •Решение типового варианта
- •Справочный материал
- •Правила дифференцирования
- •Задачи 1 ÷ 9.
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задача 12
- •Справочный материал
- •Задача 13
- •Справочный материал
- •Задача 14
- •Справочный материал
- •Задача 15
- •Справочный материал
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 10
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
Вариант № 13
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1. |
y = |
|
1 + x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = e |
ax |
1 |
|
|
a cos x + 2bsin bx |
||||||||
2. |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
2(a |
2 |
|
2 |
) |
||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
+ 4b |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
y = ln sin |
|
2 x + 4 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
x +1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
y = arcsin |
x |
x |
1 |
+ arctg |
|
x . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
5.y =ln(1+ 1−e10x ) −e−5x arcsin(e5x ) .
6. |
y = |
1 |
ln |
x4 − x2 + |
1 |
− |
1 |
arctg |
3 |
. |
||||||
12 |
|
(x2 +1)2 |
|
2 3 |
2x2 −1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
y = |
|
|
x4 +1 − x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
y = |
|
ln x |
|
− |
1 |
ln |
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9.y = x sin x 3 .
10. |
Вычислить приближенно значение y = x6 |
в точке x = 2,01 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
= arcsin |
1 −t |
2 |
|
|||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
. |
|||||||||||
Найти |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
для параметрической функции |
= (arccost)2 |
|
|||||||||||||
|
|
dx |
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти y |
′ |
и y |
′′ |
для функции y(x), заданной неявно: |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||
12. |
xy = arctg y . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13. |
Найти |
|
|
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
|||||||||||||||||
y = |
2(− x2 +7x −7) |
|
при x [1,4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 −2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исследовать |
|
|
|
|
|
|
характер |
|
|
|
поведения |
|
функции |
||||||||||||
y = 2x + x2 −(x +1)ln(2 + x) |
в точке xo = −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15. |
Построить графики функций y |
= |
3x2 |
−7 |
, |
y = |
3x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2x |
+1 |
x2 +9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Вариант № 14
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1. |
y = (1 − x2 )5 x3 + |
1 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2. |
y = ln(e |
x |
+1) |
+ |
18e2 x + 27ex |
+11 |
. |
|
|
|
6(ex +1)3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
y = ln |
|
1 |
. |
|
|
|
|
1 − x4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4.y = ( x − 4) 8x − x2 −9 arccos x −1 .
5.y = 3x −ln (1 + 1 −e6 x ) −e−3x arcsin (e3x ) .
6. |
y = |
x |
2 |
+1 |
− |
1 |
ln |
x2 +1 − x |
. |
|
2 |
x2 +1 +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
||
7. |
y = ln cos x + |
cos2x . |
|
8.y = 3 xx +−22 .
9.y = x3 x 2 x .
10.Вычислить приближенно значение y = x2 + x +3 в точке x =1,97 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dy |
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
x = |
ln t |
|
||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти |
|
и |
|
|
|
для параметрической функции |
|
|
|
. |
||||||||
dx |
dx |
2 |
|
|
1 + |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −t2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ln |
|
t |
||
|
Найти y′ и |
|
y′′ |
|
|
|
|
y(x), |
|
|
|
|
||||||
12. |
|
для |
функции |
заданной |
неявно: |
|||||||||||||
|
e x sin y −e y cos x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. |
Найти |
|
наибольшее |
и |
наименьшее |
|
значения |
|
функции |
|||||||||
|
y = 3 2 x 2 ( x − 6) |
|
при x [−2,1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. |
Исследовать |
|
|
|
|
характер |
|
|
поведения |
|
|
|
функции |
|||||
|
y =1 −2x − x2 + 2cos(x +1) в точке xo = −1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15. |
Построить графики функций y = |
x2 −11 |
, y = |
|
x3 |
. |
|
|
|
|||||||||
4x −3 |
|
3 |
− x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
Вариант № 15
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1. y = (2x2 + 3) x2 −3 . 9x3
2.y = 12 ln(e2 x +1) −2arctg ex .
3. y = |
1 |
sin ( 2 tg x + 1 + 2 tg2 x ) . |
|
2 |
|
4.y = 14 ln xx +−11 − 12 arctg x .
5. |
y = |
1 |
|
arctg |
3x −1 + |
1 |
3x −1 |
. |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 3x2 −2x +1 |
|
||||
6. |
y = ln 3 |
x −5 |
− |
1 |
|
4 |
+ |
1 |
|
|
|
||||||
x +3 |
5 |
|
3 |
x2 −1 |
arctg x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
y = |
7x |
(3sin 3x +cos3x ln 7) |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
9 |
+ln2 7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
y = arctg |
x2 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.y = (cos x )e x .
10. |
Вычислить приближенно значение y = 3 |
|
x в точке x = 26,46 . |
|
|||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arcsin |
t |
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
Найти |
|
и |
|
|
|
для параметрической функции |
|
|
. |
||||||||||
dx |
dx2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||
12. |
Найти y′ |
и y′′ |
для функции y(x), заданной неявно: |
2 y ln y = x . |
|||||||||||||||
13. |
Найти |
|
наибольшее |
и |
наименьшее |
|
значения |
функции |
|||||||||||
y = |
−2x(2x +3) |
при x [−2,1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 + 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
Исследовать характер поведения функции |
y = 2 ln x + x2 −4x +3 в |
|||||||||||||||||
точке xo =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
Построить графики функций y = |
x +1 |
|
, |
y = |
2x2 |
−9 |
. |
|
||||||||||
x(x + |
2) |
x2 −1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Вариант № 16
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1.y = 2 11 +− xx .
2. |
y = |
1 |
|
ln |
|
1 + 2 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
y = ln |
|
|
x2 +1 + x |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 +1 − x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
y = arctg |
|
|
1 + x |
2 −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y = |
|
9x2 −12x |
−ln ( x + 9x2 −12x ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
y = |
(3−x)(2 +x) +5arcsin |
(x +2) /5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
y = arctg |
|
|
cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
y = x(sin ln x − cos ln x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9. |
y = x2 x |
5x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. Вычислить приближенно значение y =3 |
x в точке x = 27,54 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dy |
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = arctg t |
|
||||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найти |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
для параметрической функции |
|
|
|
1 +t2 . |
|||||||||||
|
dx |
|
|
dx |
2 |
|
= ln |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
t +1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. |
Найти y |
′ |
|
и y |
′′ |
для функции y(x), заданной неявно: |
|
x2 y2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 + b2 |
=1 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13. Найти |
|
|
|
|
|
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
|
функции |
||||||||||||||||||
|
y = x2 −2x + |
|
|
16 |
|
−13 при x [2,5]. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. Исследовать |
|
|
|
характер |
|
поведения |
y = 2ln(x +1) −2x + x2 +1 |
||||||||||||||||||||||
|
xo =1 точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
15. |
Построить графики функций y = |
x3 |
+ x2 |
−3x −1 |
, y = |
|
|
x |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
2x2 |
−2 |
|
x2 −4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40