ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»

(СПбГМТУ)

Кафедра математики

——————————————————————————————

ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Санкт-Петербург

2006

Высшая математика. Тема 6. Интегральное исчисление функций одной переменной. Рабочая тетрадь. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 2007. С. 38.

Издание адресовано студентам экономических специальностей и предназначено для организации их самостоятельной работы по теме «Интегральное исчисление функций одной переменной». Рабочая тетрадь является дополнением к теме 6 компендиума по дисциплине «Математика». Она содержит краткие сведения из теории и подробные решения типовых примеров, а также варианты типовых расчетов.

Составитель В. В. Певзнер Редактор И. И. Крисальная

2

Справочный материал для задач 1–10

Функция называется первообразной для функции на интервале (a;b), если на всём этом интервале F' (x)= f (x).

Если F(x) — какая-либо первообразная функции f (x), то все возможные первообразные этой функции могут быть записаны в виде F(x)+C , где C — любое число.

Выражение F(x)+C называется неопределённым интегра-

интегрированием функции f (x).

Основные свойства неопределённого интеграла

1.Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

∫df (x)= f (x)+C .

2.Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

∫Af (x)dx = A∫ f (x)dx .

3.Интеграл от суммы функций равна сумме интегралов от каждой функции:

∫(f1(x)+ f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx .

3

Таблица неопределённых интегралов

4

В простейших случаях неопределённый интеграл можно найти методом непосредственного интегрирования, то есть с помощью арифметических действий привести интеграл к табличному виду и найти его значение по таблице неопределённых интегралов.

При вычислении интегралов часто бывают полезны свойства дифференциалов:

1) постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

2) если под знаком дифференциала прибавить любое число, дифференциал не изменится:

du = d (u +c) ( c = const ).

В частности, эти свойства помогают найти интеграл ∫ f (ax +b)dx при известной первообразной от функции f (x):

∫ f (x)dx = F(x)+C .

Приступим к вычислению интеграла:

∫f (ax +b)dx = ∫ f (ax +b)d axa = ∫ f (ax +b)a1 dax =

=a1 ∫ f (ax +b)dax = a1 ∫ f (ax +b)d (ax +b)=

= a1 F(ax +b)+C .

Если требуется найти значение определённого интеграла, то вначале находится первообразная, а затем используется формула Ньютона-Лейбница

b

∫ f (x)dx = F(x)ba = F(b)− F(a),

a

где F(x) — какая-либо первообразная функции f (x).

Задача 1.1

Вычислить неопределённый интеграл ∫(x +1)2 xdx .

5

Решение задачи

Раскроем скобки и превратим интеграл в сумму табличных:

∫(x +1)2 xdx = ∫(x2 +2x +1) xdx = ∫(x5 2 +2x3 2 + x1 2 )dx = = ∫x5 2dx +2∫x3 2dx + ∫x1 2dx = x77 22 +2 x5522 + x3322 +C .

Задача 1.2

Вычислить неопределённый интеграл ∫5 4dxx +2 .

Решение задачи

Заметим, что интеграл от функции 51x является табличным,

поэтому мы можем, пользуясь свойствами дифференциала, превратить исходный интеграл в табличный. Для этого под знаком дифференциала получим то же выражение, что и под знаком радикала:

dx = d 44x = 14 d 4x = 14 d (4x +2).

Подставим это выражение в исходный интеграл:

f (x) мы не можем, но предполагаем, что она существует.

Введём новую переменную t, которая будет связана со старой переменной x

6

x = u(t),

где u(t) — непрерывная функция, у которой есть непрерывная

производная и обратная функция. Тогда dx = du(t)= u'(t)dt .

Подставим это выражение в исходный интеграл:

∫ f (x)dx = ∫ f (u(t))u'(t)dt .

Цель всех этих действий — получить табличный интеграл или интеграл, какими-либо операциями сводящийся к табличному.

Такой способ интегрирования называется методом замены переменной или методом подстановки.

Рассмотрим случай, когда подынтегральная функция может быть представлена в виде

f (x)= g(h(x))h' (x),

причём функция g(t) имеет табличную первообразную. Можно

заметить, что

h' (x)dx = dh(x),

изаписать интеграл так:

∫g(h(x))h'(x)dx = ∫g(h(x))dh(x).

Дальнейшее интегрирование сводится к нахождению табличной первообразной от функции g(t) и замены переменной t на функ-

цию h(x).

Этот приём называется подведением под знак дифференциа-

ла.

знаком радикала полного квадрата. После этого интеграл сводит-

Интегралы от произведений и отношений тригонометрических функций разделяются на несколько видов.

1. ∫sinn x cos2m+1 xdx (n, m — целые числа).

7

sin2n x выражаем через cos x с помощью основного тригонометрического тождества.

В случае, если функция sin x (или cos x ) — в нечётной отрицательной степени (то есть находится в знаменателе), интеграл находится тем же методом.

3. ∫sin2n x cos2m xdx (n, m — целые положительные числа). Необходимо воспользоваться формулами понижения степени

или формулой двойного угла

sin 2x = 2sin x cos x ,

чтобы свести интеграл или к табличному, или к одному из рассмотренных в этом разделе.

dx

4. ∫sin2n x cos2m x (n, m — целые положительные числа).

Числитель удобно преобразовать с помощью основного тригонометрического тождества.

5. ∫sinαx cos βxdx , ∫sinαxsin βxdx , ∫cosαx cos βxdx (α≠β ).

Эти интегралы берутся при помощи формул sinαcos β = 12 [sin(α + β)+sin(α −β)],

cosαcos β = 12 [cos(α + β)+cos(α −β)], sinαsin β = 12 [cos(α −β)−sin(α + β)].

8

Задача 2

9

e

(×)= ln ln x + ln2 x +3 =

1

= ln ln e + ln2 e +3 −ln ln1+ ln2 1+3 = ln 3 −ln 3 .

Задача 4

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

8 − x2 −2x = 8 −(x2 +2x +1 −1)= 8 −(x2 +2x +1)+1 = = 9 −(x +1)2 .

вом дифференциала, согласно которому при добавлении числа под знаком дифференциала он не меняется. Теперь мы можем преобразовать наш интеграл в табличный:

10