Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
Кафедра математики
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Тема 4.3. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
Санкт-Петербург
2006
Составители: В.В.Григорьев-Голубев, И.В.Евграфова.
Высшая математика. Тема 4.3. Числовые и функциональные ряды. Рабочая тетрадь. Редактор: В.Н.Сорокин. СПб.: Изд. Центр СПбГМТУ, 2006. с. 54, иллюстр.: 1
2
Задача 1.1
Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:
|
∑ |
n +3 |
. |
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n=1 3 n5 +3n + n |
||||
|
Справочный материал |
||||
1-ый признак сравнения |
|
|
|
||
∞ |
∞ |
|
|
|
|
Пусть ∑un |
и ∑vn - |
два |
ряда с неотрицательными |
||
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
членами, причем члены первого, начиная с некоторого номера, не
превосходят соответствующих членов второго: |
0 ≤un ≤ vn . |
Тогда: |
|
∞ |
∞ |
1) если ряд ∑vn сходится, то сходится и ряд |
∑un . |
n=1 |
n=1 |
∞
2) если ряд ∑un
n=1
∞
расходится, то расходится и ряд ∑vn .
n=1
2-ой (предельный) признак сравнения
∞
Пусть даны два ряда с положительными членами ∑un и
n=1
∞
∑vn . Если: 1) существует конечный и отличный от нуля предел
n=1
|
un |
|
∞ |
∞ |
|
lim |
= c > 0 |
(c ≠ 0, c ≠ ∞), то ряды ∑un |
и ∑vn сходятся |
||
|
|||||
n→∞ v |
|
n=1 |
n=1 |
||
|
n |
|
|
|
|
или расходятся одновременно;
3
|
|
|
un |
|
|
∞ |
||
2) |
существует предел lim |
|
|
=∞, то из сходимости ряда ∑un |
||||
|
|
|||||||
|
|
n→∞ v |
n=1 |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
следует |
сходимость ряда |
∑vn , а из расходимости ряда |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∑vn следует расходимость ряда ∑un ; |
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
un |
|
∞ |
||
3) |
существует предел lim |
|
= 0 , то из сходимости ряда ∑vn |
|||||
|
||||||||
|
|
n→∞ v |
n=1 |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
следует |
сходимость ряда |
∑un , а из расходимости ряда |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∑un следует расходимость ряда ∑vn . |
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
При использовании признаков сравнения в качестве эталонных рядов, с которыми проводится сравнение исследуемых, часто используют геометрический ряд
∞ |
cходится при0 < q <1 |
|
∑qn |
– |
расходится при q ≥1 |
n=1 |
|
|
и обобщенный гармонический ряд
∞ |
1 |
cходится при p >1 |
|
|
∑ |
– |
|
. |
|
p |
расходится при p ≤1 |
|||
n=1 |
п |
|
|
|
Можно использовать также любой ряд, сходимость или расходимость которого доказана.
4