Определение средних показателей темпов роста, абсолютного прироста и темпов прироста

По показателям изменения уровней ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста), полученным в результате анализа исходного ряда, рассчитываются обобщающие показатели в виде средних величин - средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

Средний темп роста:

; ;,

где n - число рассчитанных цепных или базисных темпов роста;

- уровень ряда, принятый за базу для сравнения;

- последний уровень ряда;

- цепные темпы роста (в коэффициентах);

- первый базисный темп роста;

- последний базисный темп роста.

Средний абсолютный прирост:

или ,

где n - число уровней ряда динамики;

- первый уровень ряда динамики;

- последний уровень ряда динамики;

- цепные абсолютные приросты.

Между средними темпами прироста и темпами ростаK также существует соотношение:

или (если темпы роста определены в процентах).

Из предыдущего примера:

Средний темп роста:

; ;.

Средний абсолютный прирост:

млн. усл. ден. ед. или млн. усл. ден. ед..

Средний темп прироста:

.

Таким образом, в среднем выпуск продукции предприятия в 2000 и 2001 гг. составляет 1,1 или 110% от аналогично показателя предыдущего года и ежегодно увеличивается на 2,3 млн. усл. ден. ед. прирост выпуска продукции в среднем составляет 0,1 или 10% в каждом периоде.

Определение общей тенденции развития в рядах динамики

Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление.

Рассматривая динамические ряды, необходимо разделить эти факторы на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития, но часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики ее установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные. Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.

Интервалы, или периоды времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, необходимо заменить на более продолжительные периоды времени и проанализировать, как будут изменяются уровни ряда.

Пример 3.

Таблица 6

Реализация молочной продукции в магазинах города

за первое полугодие по месяцам (в тоннах):

Месяц	Годы
	1997	1998	1999
январь	5,3	5,3	5,4
февраль	5,3	5,1	5,2
март	7,9	8,3	8,2
апрель	8,2	9,0	9,3
май	9,8	9,5	10,1
июнь	12,5	13,0	13,1

Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:

I-е полугодие 1997г. - 49,0 тонн;

I-е полугодие 1998г. - 50,2 тонны;

I-е полугодие 1999г. – 51,3 тонны.

Таким образом, реализация молочной продукции в магазинах города к лету увеличивается ежегодно, но также увеличивается объем реализации из года в год, т.е. видна общая тенденция роста объема реализации молочной продукции.

Другой способ определения тенденции в ряду динамики — метод скользящих средних (метод сглаживания ряда). Фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.

Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т. д.:

—исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями (например, пятизвенными):

;

;

;

...

...

...

.

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровнейиустанавливается соответствие:

— — — —,

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровнии. Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

... — исходные уровни;

— — ... — сглаженные уровни;

— — ... — центрированные сглаженные уровни;

и т.д.

Однако, метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление.

Пример 4.

Таблица 7

Валовой сбор хлопка-сырца в стране

Годы	Валовой сбор хлопка-сырца, млн. т.	Скользящая средняя по 5 уровням
1990	4,3	-
1991	4,5	-
1992	4,3	4,72
1993	5,2	5,00
1994	5,3	5,30
1995	5,7	5,64
1996	6,0	5,78
1997	6,0	5,86
1998	5,9	6,10
1999	5,7	-
2000	6,9	-

Валовой сбор хлопка-сырца, млн.т.

Рис. 1. Валовой сбор хлопка-сырца

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными, которые представляют из себя некоторую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту.

Уравнение тренда для прямой:

,

где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;

- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами и.

Расчет коэффициентов иведется на основе метода наименьших квадратов:

Если вместо подставить(или соответствующее выражение для других математических функций), получается:

Это функция двух переменных и(всеиизвестны), которая при определенных значенияхидостигает минимума. Из этого выражения на основе знаний из курса высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентови.

Для прямой:

; ,

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы, то записанные выражения для определенияиупрощаются:

;

Таблица 8

Нечетное число уровня ряда

1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	абсолютное время
-3	-2	-1	0	1	2	3	условное время

Таблица 9

Чётное число уровней ряда

1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	абсолютное время
-7	-5	-3	-1	1	3	5	7	условное время

В обоих случаях .

Пример 5.

Таблица 10