2.2. Определение перемещений в стержневой системе

При расчете статически неопределимых систем, кроме уравне­ний равновесия, как известно, приходится составлять и решать уравнения совместности деформаций системы. Для составления та­ких уравнений необходимо уметь определять перемещения заданной системы. Это приходится часто делать и при расчете статически опреде­лимых систем, которые должны обладать не только достаточной прочностью, но и жесткостью, так как в процессе их эксплуатации нормируются не только напряжения, но и перемещения конструкций.

Таким образом, изучение общих методов определения переме­щений упругих систем является одной из основных задач строи­тельной механики.

При определении перемещений заданной системы очень важ­ным является понятие работы внешних сил на возможных перемещениях, которая при их статическом действии на соору­жение равна сумме половины произведения значения этих сил на величину соответствующего им перемещения. Работа внешних сил на вызванных ими перемещениях может быть выражена через вну­тренние усилия (изгибающие моменты, продольные и поперечные силы), возникающие в поперечных сечениях стержней конструк­ции. На этом основан один из наиболее распространенных спосо­бов определения перемещений - способ, предложенный немецким ученым О. Моpом в 1874г.

Пусть рассматриваемая заданная стержневая система под влия­нием внешнего воздействия деформируется и требуется определить обобщенное перемещение в i-ой произвольной точке (рис. 2.4) в заранее заданном направлении.

Согласно принципа возможных перемещений, для закреплен­ной системы с идеальными связями, сумма работ всех усилий на любых малых возможных перемещениях равна нулю. Что является необходимым и достаточным условием нахождения равновесного состояния рассматриваемой системы. Для деформируемой системы, в аналитическом выражении начала возможных перемещений, сле­дует учесть работу, как внешних, так и внутренних усилий.

Рассмотрим два состояния системы: одно, возникающее под действием заданной нагрузки (рис. 2.4, а); второе - под действием единичной силы, приложенной в интересующей нас точке i по направлению искомого переме­щения (рис. 2.4, б). Определим возможную работу сил второго со­стояния на перемещениях первого состояния.

Рис. 2.4

Работа внешней силы Р_i = 1:

dV = 1×d_iP , (2.1)

где d_iP - перемещение i-ой точки по направлению силы Р_i = 1 в первом состоянии, вызванной действием системы внешних сил.

Работа внутренних усилий, как известно из курса “Сопро-тивле­ния материалов” [9], была представлена в виде:

, (2.2)

где , , , , , - усилия в первом и втором сос­тоянии, соответственно; EJ_j , EF_j , GF_j - жесткости на изгиб, рас­тяжение-сжатие и сдвиг, соответственно, для j-ого стержня; h -коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения, для прямоугольного сечения h = 1.2.

В силу принципа возможных перемещений: dA + dV = 0, т.е. работа внешних сил равна работе внутренних сил с обратным знаком dV = -dA, далее, учитывая (2.1) и (2.2), получим:

. (2.3)

Это выражение носит название фоpмyлы Моpа. Замечательной особенностью вычисления перемещений по формуле Моpа являет­ся то обстоятельство, что в качестве второго состояния можно ис­пользовать любую систему, образованную из заданной путем отбра­сывания лишних связей, т.е. брать в качестве вспомогательного состояния любую статически определимую систему, полученной из заданной. Это в значительной степени упрощает процедуру вычис­ления перемещения по формуле Мора.

Во многих практических случаях формула Мора может быть значительно упрощена. Например, в статически неопределимых фермах изгибающие моменты и поперечные силы пренебрежимо малы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня. Поэтому для ферм формула Моpа принимает вид:

. (2.4)

В рамах обычно пренебрегают влиянием вторых и третьих чле­нов (2.3), так как эти члены незначительно влияют на величину перемещений:

. (2.5)

Продольные силы вместе c изгибающими моментами учиты­вают в расчете систем, элементы которых испытывают значитель­ные осевые деформации, сравнимые c деформациями от изгибаю­щих моментов, например, в арках, а также при учете податливости отдельных элементов систем, работающих преимущественно на сжатие или растяжение, например, затяжек в рамах или арках.

Интеграл Мора, наряду с методом начальных параметров, явля­ется достаточно мощным инструментом для определения переме­щений стержневых систем. Проиллюстрируем это на примере.

Для ломаного бруса, изображенного на рис. 2.5, а определим угол поворота поперечного сечения С относительно вертикальной оси. Пусть жесткость ригеля в два раза больше жесткости стойки, т.е. EJ_р = 2×EJ_c .

Последовательность расчета следующая:

1) строим эпюру моментов М_n от заданной нагрузки q (эпюра моментов действительного состояния n рис. 2.5, б); 

2) строим эпюру моментов М_m при загружении конца консоли единичным моментом M = 1 (эпюра моментов фиктивного состоя­ния m, рис. 2.5, в); 

3) выразим изгибающие моменты через переменные абсцис­сы x:

- для ригеля: M_n = -q x²/2; M_m = -1; - для стойки: M_n = -q a²/2; M_m = -1;

Рис. 2.5

4) применяя формулу перемещений (2.5), найдем искомый угол поворота:

(рад).