Раздел 2. Расчет статически неопределимых стержневых систем

2.1. Статически неопределимые стержневые системы

Статически неопределимойназывают такую систему, ко­торая не может быть рассчитана по методу сечений с использова­нием лишь одних условий равновесия, так как она обладает лиш­ними связями. В качестве лишних следует принимать те связи, которые необходимо отбросить из состава заданной, чтобы превра­тить ее в статически определимую и геометрически неизменяемую систему.

Количество лишних связей, которые следует удалить из ста­тически неопределимой системы для обращения ее в статически определимую и геометрически неизменяемую, называют сте­пенью статической неопределимости.

Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.

Рис. 2.1

Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет только лишние внешние связи, т.е. лишние опорные за­крепления. Примером внешне статически неопределимой плоской системы является трехпролетная рама (рис. 2.1).

Степень статической неопределимости системы С легко установить путем вычита­ния из общего числа опорных стержней m число стержней, необходимых для сохране­ния геометрически неизменяемого при­крепления системы (одно - для одномерных; три - для плоских и шесть - для пространственных систем).

Для плоской рамы, изображенной на рис. 2.1, учитывая, что защемление эквивалентно трем опорным стержням, получаем:

m = 3 + 2×2 +1 = 8;     C = m - 3 = 8-3 = 5,

т.е. данная система 5 раз статически неопределима.

Внутренне статически неопределимой называют сис­тему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.

Двухопорная рама с затяжкой (рис. 2.2, а) внутренне один раз статически неопределимой. Статически определимая система (рис. 2.2, б) получена из заданной (рис. 2.2, а) путем разрезания за­тяжки ab. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется

только одной неизвестной осевой силой N₁ . Следовательно, в ста­тически определимой системе, изображенной на рис. 2.2, б имеем одно лишнее неизвестное N₁ , которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система (рис. 2.2, а) яв­ляется один раз статически неопределимой.

Рис. 2.2 Рис. 2.3

Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис. 2.3, а, то получим трижды статически неопределимую систему.

Действительно, в данном случае после разрезания нижнего ригеля ab, взаимодействие частей ac и bc характеризуется уже тремя неизвестными усилиями N₁, Q₁, M₁ (рис. 2.3, б), которые нельзя определить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис. 2.3, a является три раза внутренне статически неопредели­мой.

Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замк­нутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следова­тельно, если плоская система содержит n замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3×n раз статически неопределима.

Отметим следующие основные свойства статически неопреде­лимых систем.

Статически неопределимые системы ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически опре­делимой системой оказывается более жесткой, а при идентичном характере нагружения значения усилий получаются меньшими. Следовательно, и более экономичными.

Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.

В строительной механике различают следующие два классиче­ских метода расчета статически неопределимых систем: метод сил и метод перемещений.

При расчете по методу сил основными искомыми величи­нами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений, как это было показано в пер­вом разделе учебника, выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

При расчете по методу перемещений основными искомы­ми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные деформацией системы. Знание этих перемещений необходимо и достаточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.