1 Дун кер к. Психолоrия прцдуктиБноrо (творческоrо) мышления. Пси­

холоrия мышления. М.. nporpecc. 1965, с. 86�34. 13

--------------- page: 8 -----------

ное обоснование, причем не только на материале ['eOMeT­

рии, но также арифметики и алrебры.

Подчеркнем, что книrа В.А. Крутецкоrо посвящена Ma­

темаТИческим способностям школьников, Т.е. касается,

как отмечал сам автор, лишь способности к усвоению Ma­

тематикн. Ero исследование не претендовало и не моrло

претендовать на раскрытие природы математических спо­

собностей в их Высших проявлениях. Однако нельзя не co­

rласиться с В.А. Крутецким, что rлубокое самостоятельное

и творческое изучение математики является необходимой

прсдпосылкой развития способностей к подлинно творче­

Ской математической Дсятельности ­ самостоятельной по­

стаНовке проблем и нахождению новых путей и методов их

решения. «Именно поэтому, ­ писал он, ­ исслепование

математических способностей ШКольников есть первый

шаr на пути к исследованию математических способностей

в их Высших проявлениях». Поэтому, ХОТЯ способность

мыслить «чистыми» математическими структурами далеко

не исчерпывает Bcero спектра математических способно­

стей, она, безусловно, Должна рассматриваться как пер­

вичная база, оСнова Bcero Этоrо спектра.

В Книrе В.А. Крутецкоrо, написанной около 30 лет Ha­

зад, слово структура употребляется редко, и анализ по­

лучснных результатов ведется в принятых в ТО время Tep­

минах раздражителей и временных сВязей. Однако сквозь

этот традИЦионный для Toro времени язык совсем нетрудно

увидеть rлубину ее содержания, звучащеrо вполне COBpe­

менно в контексте современных представлений о коrни­

тивных структурах, коrнитивных схемах, об извлечении

инвариант и разных психолоrических уровнях реПрезента­

ции и обработки материала.

Вот что писал В.А. Крутецкий. подводя итоr своей MHO­

rолетией работы и что он сам, по­видимому, считал ее наи­

более важным выводом: «М О 3 r н е к о т о р ы х л ю ­

дей своеобразно ориентирован (Ha­

строен) на выделение из

окружающеrо мира раздражителсй

типа ПРостранственных и ЧИСЛовых

Отношений и СИмволов и на опти­

мальную работу именно с TaKoro po­

Д а раз Д р а ж и т е л я м и (разрядка автора). В ответ

на раздражители, имеющи­ математнческую характери­

стику. связи образуются относительно быстро, леrко, с 14 I меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналоrично,

неспособность к математике (имеются в виду также край­

нис случаи) имеет своей первопричииой большую затруд­

ненность выделения мозrом раздражителей типа MaTeMa­

тических обобщенных отношений, числовых абстрактов и

символов н заrруженность операций с ними>}.

Своеобразные «раздражители», о которых идет речь в

данном абзаце, это и есть инвариантные структуры лоrи­

ко­математических отношеиий, скрытые за внешним по­

верхностным н как уrодно варьирующим слоем их KOHK­

pCTHoro предметноrо, чисповоrо или образноrо воплоще­

ния. В том, что именно эти структуры извлекаются

способными к математике школьниками из текстов задач и

процессов их решения и не извлекаются или извлекаются с

большим трудом неспособными к математике, нетрудно

убедиться, если посмотреть под этим уrлом зрения на KOH­

кретные тестовые задачи и коикретные результаты разных

серий экспериментальиоrо исслсдования В.А. Крутсцкоrо.

Для выявлення особенностей восприятия лоrико­мате­

матических отношений и конкретных данных задач уча­

щимися с разными математическими способностями В.А.

Крутецкий использовал задачи с отсутствующим вопро­

сом, который предлаrалось сформулировать самому учени­

ку, задачи с неполным составом условия, вслсдствие чеrо

дать ответ на вопрос задачи не прсдставлялось возмож­

ным, и задачи с избыточным составом условий, Т.е. с лиш­

ними данными, маскнрующими данные, необходимые для

решення. Оказалось. что показатели решения этих трех

типов задач в ['руппе способных к математике школьников

высоко коррелировали между собой, а соответствующая

матрица интеркорреляций хорошо описывалась однофак­

торной моделью Спирмена. Этот общий фактор был проин­

терпретирован В.А. Крутеuким как способность к форма­

лизованному восприятию функциональных связей задачи.

«очишенных» ОТ конкретных значений, «отделенных ОТ

предметной и числовой формы, коrда в конкретном BOC­

принимается ero общая структура». Этот вывод В.А. Kpy­

тецкий прямо соотиес с мыслью Дункера, что при решении

задач необходимо абстраrироваться от их перцептивных

свойств и обнаруживать общее в конкретном факте.

В чем же конкретно проявлялись особенности мышле­

ния способных и неспособных учеников при решении задач

данных трех типов? «Способные ученики, ­ пишет В.А. 15

--------------- page: 9 -----------

Крутецкий, ­ точно указывали на вопрос или на HeДOCTa­

ющие данные, а это означало, что они воспринимают весь

комплекс данных, всю структуру задачи и осознают, что

недостает Toro или иноrо ero элемента. Если не видеть KOM­

плекса. то нельзя видеть и вопроса, нельзя указать на He­

достающие данные. Равным образом не затрудняло способ­

ных учеников и наличие излишних, избыточных данных в

задаче. Уверенио выделяя комплекс взаимосвязаниых Be­

личин, составляющих «костяк» задачи, они просто не обра­

щали внимания на не нужные данные, находяшиеся внс

этоrо комплекса». Малоспособные к математике ученики,

наоборот, в большинстве случаев ие воспринимали и не

чувствовали в задаче cKpblToro вопроса, леrко брались за

решение задач с недостаточными данными и бесконечно

путались в решении задач с лишними даннымн, даже если

онн вводились в текст самых простых задач. Таким обра­

зом, из Bcero представленноrо материала и нз ето интер­

претации, данной В.А. Крутецким, ясно видно, что у спо­

собных К математике учеников структура задачи четко BЫ­

членяется из ее условий и конкретных данных, а у

неспособных такое вычленение идет с большим трудом,

т.к. структура «замаскирована)} текстом и всеми KOHKpeT­

ными данными задачи, не вычленена как таковая из этоrо

общеrо контекста.

«Настроенность мозrа» способных к математике уча­

щихся на извлечение и оперирование Лоrико­математиче­

скими отношениями и отсутствне такой «настроенности)} у

малоспособных ярко проявились также в описанных В.А.

Крутецким особенностях памяти тех и друrих, в ее разиой

избирательности по отношению к разным .элементам MaTe­

матических задач. Оказалось, что, спустя час после реше­

ния, способные к математике в 95,7% случаев помни."и

типовые признаки задач, схемы рассуждений, основные

лииии рассуждений, лоrические схемы. Конкретные дaH­

иые и цифровой материал воспроизводились тоже хорошо,

но несколько хуже. Через неделю н через три месяца эф­

фективность сохранения в памяти обобшенных существен­

ных отношений задач оставалась также очень высокой

(92,8% и 85,6%). Совсем иначе обстояло дело с coxpaHe­

нием в памяти конкретных и ненужных данных. ДЛЯ KOHK­

ретных данных соответствующие про центы составили Bce­

<о 9,6% (через неделю) и 2,0% (через месяц). Что Kacaeт­

ся иенужных данных, то через неделю они 16 I

, иоспроизвод.ились только в 1,0% случаев, а через 3 месяца

были забыты Полностью.

у средних и малоспособных к математике учеников Kap­

тина была совсем друrой. Мноrnе из них лучше помнили

конкретные данные. цифры, конкретные факты, относящие­

ся к задаче, но хуже помнили типовые особенности задачи

или не помнили их совсем. Некоторые из иеспособных к Ma­

тематике учеников уже через час забывали и основные COOT­

ношения данных задачи, и способы их решения.

В совремеиной психолоrии память, помимо мноrих дpy­

rих аспектов. рассматривается как результат rлубины и

широты анализа воспринятоrо материала. Принимается.

что материал может обрабатываться на разных уровнях

орraнизации познавательной системы ­ на поверхност­

ном, сенсорно­перцептивном уровне и на более rлубоких

семантических уровнях ­ и ЧТО чем rлубже уровень aHa­

лиза и чем шире анализ на том или ином уровне, тем луч­

ше сохранение материала в памяти 1 . В этом контексте дaH­

ные В.А. Крутецкоrо rоворят О том, что у способных к Ma­

тематике учеников материал задач обрабатывается на

уровне rлубоких сем3нтических математических CTPYK­

тур, тоrда как поверхностные уровни анализа иrрают бо­

лее скромиую роль. А У малоспособных, наоборот, домнни­

руст анализ на поверхностном уровне, что должно свиде­

теЛЬСТ80вать о несформированности более rлубоких

семантических уровней анализа материала задач.

«Настроенность мозrз» способных к математике уча­

щи хея на нзвлечение инвариантных Лоrико­математиче­

ских структур из сколь уrодио варьирующей формы их

«упаковки» ярко проявипась в их способности к обобще­

нию лоrико­математических отношений задач.

Для выявления этой способиости бьш составлен боль­

шой комплекс задач, состоящий из 6 серий, по нескольку

задач в каждой. Задачи, как уже отмечалось выше, были

составлены на арифметическом, алrебраическом, ['eOMeT­

рическом и лоrическом материале.

J. Система однотипных задач, предъявлявшихся после

Toro, как учащийся справлялся с решением первой задачи

д.аниоrо типа, причем TaKoro, с которым он ранее в своей

учебной деятельности не сталкивался. Смысл серии в том,

чтобы устаиовить, как учащиеся справляются с подведени­

I к­Оlз;:­­тельная акт з иви 6 ост 5 ь В 9 си;еМ 8 С rAёеgc.rя наёьТi(и 1t.. Педаrorи­

У7 . НРIlАЕНИIi

ПЕД I н С ,ип,

6I&Лlе1ЕИА

--------------- page: 10 -----------

ем новых задач под только что сформировавшееся прави

ло, насколько онн способны к переносу сложившеrося спо

соба действия в иовые условия и способны отделить суше

ственные отношения задачи данноrо определенноrо типа

от иесуществснных конкретиых ее деталей.

2. Система разнотипных задач. Задания, которые BЫ

полняли учащиеся, состояли в том, чтобы объединить за:

дачи внешне очень непохожие, но однотипные по своеи

структуре, и отдифференцировать их от задач, внешне

очень похожих, но относящихся К друrому (друrим) типу.

3. Система задач с постепенной трансформациеи усло

вий из KOHKpeTHoro в абстрактный план. Смысл за

соСтоял в том, чтобы установить, иаско...ько и в ка кои CTe

пени учащиеся «видели» абстрактную сущность отношс

ний задач в той или иной ее конкретно и «упаковке».

4. Самостоятельное составление задач заданноrо типа

после однократноrо решения задачи определснноrо 'Типа.

5. Система однотипных усложняющихся доказательств.

По смыслу эта серия аналоrична серии 1, но здесь изуча

лось, насколько учащиеся способны к обобщению и пере

носу методов рассуждения, усвоенных принципов доказа

тельства, насколько эти методы лоrичны.

6. Составление уравнений по условиям задачи, коrда

принцип составления уравнений остается неизменным, но

конкретная предметная ero «упаковка» усложняется и все

больше маскирует этот принцип. Здесь, как и в серии 5,

выявлялась способность к обобщению и пере носу методов

рассуждения, а также их лоrичность.

Этим исследованием было охвачено 120 учащнхся

УII классов. Количественными показателями, xapa

теризующими успешность математических обобщении,

были: количество «шаrов» при максимальном обобщении и

величина поспеднеrо шаrа (серии 1 и 5), число правильно

выполненных заданий (серия 2), число правильно решен

иых задач и количество «шаrов» при переходе из KOHKpeT

Horo в абстрактный план (серия 3), суммарный балл, nOKa

зывающий уровень выполнения задания (серия 4) и CYM

марный индекс, характеризующий широту переноса

метода рассуждения (серия 6).