2. Фильтрование

Процесс фильтрования под действием разности статических давлений по обе стороны от проницаемой перегородки широко используется для эффективного отделения мелкодисперсной твердой фазы от капельных жидкостей или от газов. В качестве фильтрующих перегородок чаще всего применяются хлопчатобумажные, шерстяные, полимерные, асбестовые ткани, а также металлические сетки.

Характерной особенностью фильтрования (фильтрации) является периодический процесс отложения слоя дисперсной фазы на фильтрующей перегородке. При этом существенны два обстоятельства. Во-первых, даже если в целом процесс фильтрования организован как непрерывный, т. е. с удалением образующегося слоя осадка, то и в этом случае на каждом элементарном участке фильтрующей перегородки увеличение толщины слоя осадка до момента его удаления происходит периодически. Во-вторых, слой осадка представляет собой существенное гидравлическое сопротивление для фильтрующейся поперек него сплошной среды.

2.1. Уравнение периодической фильтрации

Рассмотрим в качестве базового процесс периодической фильтрации суспензии, схематически представленный на рис. 2.6. Разность статических давлений P = P₁ – P₂ > 0 создается либо за счет поддержания разрежения под перегородкой P₂< 10⁵Н/м²с помощью вакуум-насоса, либо за счет избыточного давления со стороны суспензииP₁> 10⁵Н/м², создаваемого насосом или каким-либо иным способом. Строго говоря, в качестве давленияP₁следует рассматривать статическое давление непосредственно надфильтрующей перегородкой, т. е. к давлению над суспензией следуетдобавлять гидростатическое давление самого слоя суспензии_cgH_c, где_cиH_c– плотность и суммарная высота слоя суспензии и осадка. Однако такая добавка обычно бывает мала по сравнению с основным значением движущей силы процесса.

Поскольку высота слоя осадка во время фильтрации непрерывно увеличивается, то в качестве основы для анализа процесса записывается мгновенное значение скорости фильтрации:

(8)

где V – объем фильтрата (сплошной фазы), прошедший от начала процесса через 1 м² фильтрующей перегородки, м³/(м²); R_oc и R_п – мгновенное значение гидравлического сопротивления слоя осадка и практически постоянная величина гидравлического сопротивления перегородки, кг/(м²  с).

Отметим, что равенство (8) аналогично формуле для электрического тока, проходящего через два последовательно соединенных электрических сопротивления R₁ и R₂: dQ_эл/d = U/(R₁ + R₂), где электрический ток, согласно определению, записан как количество электрических зарядов dQ_эл, проходящих за элементарное время d, а U – разность электрических потенциалов.

Гидравлическое сопротивление слоя осадкаR_oc непрерывно увеличивается вследствие отложения в верхней части слоя все большего и большего количества частиц, ранее взвешенных в исходной суспензии. Существенно, что значение R_oc в некоторый произвольный момент времени  от начала фильтрации зависит не от мгновенного значения скорости фильтрации dV/d, а от всего объема V фильтрата, прошедшего через слой осадка и перегородку от начала процесса фильтрации, поскольку вся дисперсная твердая фаза, содержавшаяся прежде в объеме V жидкости, к моменту  оказалась на перегородке и составила осадок, высота которого пропорциональна количеству этой твердой фазы. Поэтому можно записать: R_oc  V, или R_oc = KV , где K – некий коэффициент, зависящий от объемной

Рис. 6. Схема периодической фильт-рации:

1 – корпус; 2 – проницаемая для жидкой фазы перегородка; 3 – слой осадка; 4 – слой суспензии; С – суспензия; Ф – фильтрат

концентрациитвердой фазы в исходной суспензии, от размера, формы и степени полидисперности частиц твердой фазы, от вязкости и плотности сплошнойфазы, фильтрующейся через нерегулярную укладку частиц в слоеосадка и т. п.

В отличие от переменной величины R_oc, гидравлическое сопротивление перегородки практически остается постоянным в течение всего процесса фильтрования. Исключение может составлять лишь первоначальный момент, когда некоторые отверстия в перегородке могут оказаться закупоренными твердыми частицами, размер которых близок к эквивалентному диаметру отверстий. Но уже в последующие моменты процесса фильтрации над входами в отверстия создаются напряженные арочные своды из частиц; эти своды блокируют отверстия перегородки от попадания в них новых частиц. По этой причине можно полагать R_п = const, что для удобства последующих выкладок формально записывается в виде произведения уже введенной константы K на новую константу C: R_п = KС. Константа C является функцией эквивалентного диаметра отверстий перегородки, числа отверстий на единицу площади фильтрования, толщины перегородки, извилистости каналов для прохода жидкости и т. п.; влияние на величину R_п вязкости и плотности жидкости учитывается множителем K.

Подстановка величин R_oc=KVиR_п = KСв уравнение скорости фильтрования (2.8) дает:

или (V + C)dV = (P/K)d.

(9)

Интегрируя дифференциальное уравнение (9) для процесса фильтрования при постоянной разности давлений P = const, получим квадратичную зависимость между временем периодического фильтрования и объемом полученного к этому времени фильтрата:

V2/2 + CV = (P/K) + C1.

(10)

Константа интегрирования C₁ определяется из начального условия процесса V|_{ = 0} = 0, согласно которому в момент  = 0 начала фильтрования за перегородкой фильтрат отсутствует: C₁ = 0.

Окончательно для процесса периодического фильтрования имеем интегральную форму уравнения:

V2 + 2CV = K, или

(11)

где K = 2P/K.

График зависимости объема фильтрата, полученного с 1 м² поверхности к моменту , от времени, прошедшего от начала процесса, представлен на рис. 2.7.

Рис. 7. Зависимость объемаV (м³/м²) фильтрата, полученного к моменту , от времени, прошедшего от начала процесса

Численные значения констант филь-трации K и C могут быть найдены только путем экспериментальных измерений объемов получаемого фильтрата за фиксированные отрезки времени от начала процесса.

В принципе для вычисления значений этих констант достаточно произвести две пары измерений (V₁, ₁) и (V₂, ₂), т. е. при проведении периодической фильтрации измерить в момент времени ₁ объем V₁ фильтрата, собранного с одного квадратного метра поверхности фильтрации за время ₁, прошедшее от начала процесса, а затем продолжить процесс до некоторого последующего момента ₂ > ₁ и вновь измерить весь объем собранного (с 1 м²) фильтрата V₂ (включая и V₁). Полученные пары значений (V₁, ₁) и (V₂, ₂) подставляются в первое уравнение (11):

V₁²+ 2CV₁ = K₁; V₂² + 2CV₂ = K₂.

Система двух алгебраических уравнений дает возможность определить численные значения констант фильтрации K и C для изучаемого процесса.

Полученные из такого рода экспериментов значения констант K и C можно использовать при расчетах процессов фильтрации только для тех же суспензий и перегородок, при которых проводились опыты. Константа K, м²/с, зависит от движущей разности давлений P = P₁ – P₂, от свойств осадка и его концентрации в суспензии. Значение константы С, м, характеризует гидравлическое сопротивление фильтрующей перегородки. Существенно, что значения K и C могут быть определены по экспериментальным данным, полученным на фильтре малой поверхности, а затем использованы для расчетов промышленной фильтрации при значительно большей поверхности фильтрации.

Точность расчетов констант фильтрации по опытным данным может быть повышена, если в том же процессе периодической фильтрации произвести не два (i = 2) минимально необходимых измерения величин V_i и _i, а в несколько раз больше (i = 10 или более). Увеличение количества измерений лишь в незначительной степени увеличит трудоемкость экспериментальной работы по измерению получаемых объемов V_i фильтрата не в два, а в большее число моментов времени _i в процессе медленно протекающей периодической фильтрации. Числовые данные составляют первые две колонки таблицы 1.

Таблица 1