матан2сем краткий конспект

вершины.

x y 1 1(x 1) 0,

в)

Найти

прямую,

принадлежащую

двум

пучкам:

2x 3y 2 y 1 0

28. а) Найти точку пересечения прямых и угол между ними: x + 2y + 5 = 0,

4x – 2y – 3 = 0.

площадью 9.

30. а) Найти точку пересечения прямых и угол между ними: 3x + y – 6 = 0,

2x – y + 5

= 0.

б) Показать, что  со сторонами x + 5y + 8 = 0, 8x + y – 14 = 0,

7x

– 4y + 17 = 0

б) На эллипсе

x2

y2

1 найти точку, отстоящую на расстоянии 5 от малой оси.

30

24

1

в)

Зная уравнение

асимптот гиперболы y

x

и одну из точек М(12,3

составить

3),

уравнение гиперболы

2

г) Найти уравнение хорды параболы y2

4x, для которой т.(3,1) – середина.

2. а)

Написать

уравнение

окружности,

проходящей

через точки пересечения

окружности

x2 y2 4x 4y 0

с прямой y x и т.А(4,4)

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

51

в) Найти уравнение касательной к гиперболе

x2

y2

1, проведенной из т.(2,0).

8

9

б) Найти т. пересечения эллипса

x2

y2

2x y 9 0

1 с прямой

36

12

в) К гиперболе

x2

y2

x 2y 0. Найти

1провести касательную перпендикулярно прямой

OY.

4. а) Найти угол

между радиусами окружности

x2

y2 4x 6y 0,проведенными

в точки

пересечения ее с осью OY.

б) На эллипсе

x2

y2

1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в 4 раза больше

100

36

расстояния от ее левого фокуса.

в) Найти уравнение хорды гиперболы

x2

y

2

1, для которой т. А(3,-1) – середина.

г)

4

параболе y2 2px. Составить

Дано уравнение

касательной x 3y 9 0

к

уравнение

параболы.

5. а)

Написать уравнения касательных к окружности

x2 y2 8x 4y 16 0, проведенных из

в) Составить уравнение касательной к гиперболе x

2

y2

1, проведенной из т. М(1,4).

4

г) Найти уравнение хорды параболы y2 4xдля которой т. М(2,1) – середина.

7. а) Написать уравнение окружности, проходящей

через т. О(0,0) и т.

пересечения

прямой

x y 2 и окружности x2 y2 4 .

б) Написать уравнение касательной к эллипсу

x2

y2

1 в т. (2,-3).

16

12

в) Составить уравнение хорды гиперболы

x2

y

2

1, которая в т. М(5,1) делится пополам.

9

4

г) Через фокус параболы y2 8x проведена хорда,

перпендикулярная

к ее оси. Найти ее

длину.

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

52

3

4

в) Написать уравнение гиперболы, зная четыре точки пересечения директрис и

асимптот:

( 4, 2).

г) Найти уравнение касательной к параболе y2 8x из т. Р(5,-7).

9. а) Найти угол между радиусами окружности x2 y2 4x 6y 5 0, проведенными

в точки

пересечения ее с осью OХ.

б) Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние между директрисами

в 4 раза больше

расстояния между фокусами.

в) Составить уравнение касательной к гиперболе

x2

y2

1, проведенной из т.(-4,3).

8

9

г) На параболе y2 8x найти точку, фокальный радиус-вектор которой равен 20.

10. а) Написать уравнение хорды окружности x2

y2

4x 2y 1 0,

делящейся

в

т.А(3,0)

пополам.

б) Составить уравнение касательных, проведенных из т. А(-6,3) к эллипсу

x2

y2

1

15

9

x2

y2

в) Дана равносторонняя гипербола

1. Найти софокусную гиперболу,

проходящую

8

8

через т. М(-5,8).

г) Найти пересечение параболы y2 18x с прямой 6x y 6 0

11. а) Найти пересечение окружности x2 y2

4x 4y 4 0 с осями координат и с окружностью

x2 y2 4

x2

y2

б) Найти те касательные к эллипсу,

1, которые параллельны прямой

2x y 17 0.

30

24

в) Вычислить эксцентриситет гиперболы, если угол между асимптотами 900.

г) На параболе y2 12x взяты три точки, ординаты которых y = 6,

y

2

= 2,

y

3

= –3.

Найти

1

в) Дана гипербола

x

2

y2

1. Найти уравнение того диаметра, длина которого равна 20.

36

64

г) Найти кратчайшее расстояние параболы y2 64x от прямой 4x 3y 46 0.

13.а) Написать уравнение окружности, которая касается оси ОХ в т.(5,0) и отсекает на оси OY

б)

хорду длиной 10.

Составить уравнение

прямой, проходящей

через середины

хорд,

полученных

при

пересечении прямых2x y 7 0, 2x y 1 0 и эллипса

x2

y2

1 .

64

100

x2

y2

в)

На гиперболе

1. Найти точку,

для которой

фокальные

радиус-векторы

16

9

перпендикулярны друг другу.

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

53

проходит через т. А(0,8).

x2

y2

б) Составить диаметр эллипса

1, сопряженного хордами с угловым коэффициентом

25

16

2

k

.

3

в) Найти уравнение касательной к гиперболе

x2

y2

параллельной прямой x y 7 0.

1,

15

6

б) В эллипсе

x2

y2

1 вписан прямоугольник, две противоположные стороны которого

24

49

в) На гиперболе

x2

y2

точка с абсциссой х = 10, y 0. Вычислить фокальные

1 взята

24

25

бы в этой точке пополам.

2

б) Найти эксцентриситет эллипса, если малая ось видна из фокусов под прямым углом.

в) На гиперболе

x2

y2

1 найти точки, касательные в которых наклонены к оси абсцисс под

8

9

600 .

г) Составить уравнение общей хорды параболы y

2

12x

x2

y2

и эллипса

1.

16

17. а)

25

Написать уравнение окружности, проходящей

через т. (1,1)

и

касающейся

прямых

7x y 3 0,

x 7y 3 0

б) Дан эллипс

x2

y2

1 . Через т.(1,1) провести хорду, делящуюся в точке пополам.

9

4

в) Вычислить эксцентриситет гиперболы, если угол между асимптотами 600.

г) На параболе x2

12y найти точку, фокальный радиус которой равен 9.

18.

а)

Написать

уравнение

линии

центров

двух

окружностей

x2 y2

6x 8y 0,

x2 y2 2x 12y 1 0

б)

x2

y2

Дан эллипс

1.

Найти

длину его

диаметра, направленного по

биссектрисе

16

9

координатного угла.

в) Составить уравнение касательной к гиперболе

x2

y2

1 в т. (5,1).

20

4

г)

Дана парабола

y2 4x и прямая 3x y 5 0. Найти кратчайшее расстояние от параболы

до прямой.

19. а) Найти уравнение общей хорды двух окружностей x2

y2 10 и x2

y2 10x 10y 30 0

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

54

б) Провести к эллипсу

x2

y2

1 касательные, перпендикулярные к прямой

25

169

расстояния между директрисами.

г) Дана парабола y2

12x . Провести к ней касательную в точке с абсциссой х = 3.

20. а) Дана окружность

x2 y2 40x 5 0

и

т. С(5,4). Написать уравнение окружности,

имеющей центр в т. С и касающейся данной окружности внешним образом.

б) Составить уравнение эллипса, проходящего через т. М(2 3,

) и N(6,0).

6

в)

x2

y2

На гиперболе

1.

Найти точку,

для которой расстояние от левого фокуса вдвое

9

16

больше, чем от правого.

г) Найти параметр параболы y2

2px, если она касается прямой x 2y 5 0.

21. а) Дана т. А(-4,6). Написать уравнение, диаметром которой служит отрезок ОА.

б) Найти уравнение касательной эллипса

x2

y2

1, отношение расстояний которой до двух

9

фокусов равно 9.

25

в) Через т.(2,-5) провести прямые, параллельные асимптотам гиперболы

x2

y2

1. Найти их

4

1

уравнения.

г) Дана парабола y2

4x и касательная к ней x 3y 9 0. Найти их точки прикосновения.

22. а) Найти уравнение окружности, проходящей через точки (1,0) и (5,0) с радиусом 10.

б)

x2

y2

Найти длину хорды эллипса

1,

направленной по диагонали прямоугольника,

9

16

построенного на осях эллипса.

в)

Найти уравнение касательной к гиперболе

x2

y

2

1,

составляющих с осью ОХ угол

12

300 . Найти точки касания.

г) Найти пересечение параболы y2 18x и прямой

9x 2y 2 0.

x2

y2

вершины эллипса

1.

20

4

в) Гипербола имеет

асимптоты 4y 3x 0

и директрисы 5y 16 0. Найти уравнение

гиперболы.

г) Найти уравнение касательной к параболе y2

12x параллельно прямой 3x y 5 0.

24. а) Найти уравнение окружности, проходящей через т.(1,-1), (2,-2) и касающейся оси OY.

б) На эллипсе

x2

y2

1 найти ту точку, радиусы-векторы которой перпендикулярны.

20

4

x2

y2

полуоси, уравнение гиперболы

1

4

9

г) Найти уравнение касательной к параболе y2 4x, проведенных из т.(3,-2).

25. а) Найти уравнение окружности, проходящей через т.(2,1) и касающейся осей координат.

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

55

б) Провести касательную к эллипсу

x2

y2

1 из т. N(10,4). Найти ее уравнение.

25

16

в) Найти угол между асимптотами гиперболы, если эксцентриситет q

2

г) Найти длину общей хорды окружности x2

y2 12 и параболы y2 4x.

26. а) Найти пересечение двух окружностей (x 3)2

(y 4)2 10 и x2 y2

1.

б) Найти уравнение касательной к эллипсу

x2

y2

1 параллельных прямой x y 1 0.

9

16

б) Найти уравнение сторон квадрата, описанного около эллипса

x2

y2

1.

6

3

8

в)

Составить уравнение гиперболы, у которой расстояние между директрисами равно

и

3

3

эксцентриситет

.

2

г) Найти уравнение касательной к параболе y2 6x проведенных из

т.(-2,1)

28. а) Составить уравнение

окружности, проходящей через т.(1,-2)

и

т.

пересечения

прямойx 7y 10 0 и окружности

x2 y2 2x 4y 20 0.

б) Найти длину хорды эллипса

x2

y2

1, делящий угол между осями пополам.

18

9

в) Найти отрезок асимптоты между центром и директрисой гиперболы

x2

y

2

1.

г)

параболе y2 12x ,

16

Найти уравнение касательной

к

которая

образует

с прямой

на этой окружности точки А(-1,-1), В(3,2), О(0,0).

б) Найти пересечение эллипса

x2

y2

1 и окружности, проходящей через фокусы эллипса и

4

1

имеющей центр в верхней вершине.

в) Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (2,0) и асимптоту x y

г) Через вершину параболы y2

4x

проведена хорда под углом 45 0 к оси симметрии. Найти

длину этой хорды.

30. а) Найти пересечение окружностей x2 y2 2x 2y 2 0, x2 y2 2x 0.

x2

y2

полуоси. Уравнение эллипса

1. Найти остальные координаты треугольника.

1

4

в) Найти уравнение касательной к гиперболе

x2

y2

1

в т. М(

3

5

,1).

2

9

4

уравнение параболы.

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

56

x 1 2t

x 2t

z t

z 4

x 1 t

3) Составить уравнение прямой, лежащей в плоскости y+2z=0 и пересекающей прямые:

y t и

z 4t

x 2 t

y 4 2t .

z 1

x2

y2

z2

4) Найти линию пересечения гиперболоида

1 и плоскости x=9.

2

9

8

3x y z 1 0

x y 1 0

2) Найти угол между прямыми:

3x y z 0

и

.

2x 2y 5z 1 0

4) Написать сечения гиперболоида

x2

y2

z

2

1плоскостью z=0.

9

4

2)

2x y z 1 0

Найти расстояние от т. (1,3,5) до прямой

.

3x y 2z 3 0

x 3 2t

3)

Составить уравнение плоскости, проходящей через т. О(0,0,0) и через прямую

y 1 t .

z t

x

2

y2

4)

Найти сечения параболоида

2z

плоскостью z=0.

4

9

№4

1)

Составить уравнение плоскости через т. О(0,0,0) и перпендикулярной к двум плоскостям 2x-

y+5z+3=0 и x+3y-z-7=0.

2)

2x 3y 0

z 4 0

Как расположены прямые:

и

.

x z 8

2x 3z 7 0

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

57

x 1 2t

x 6 3t

z 3 4t

z 2 t

x 1

y

z 2

x 2 3t

3) Через т. М(1,5,-1) провести прямую, перпендикулярную прямым:

и y 1 t .

1

3

1

z 2t

x2

y2

4) По какой линии пересекает параболоид

2z плоскость z=0.

8

2

x 2y z 1 0

2) Записать параметрические уравнения прямой

.

x y 1 0

z 4t

y 3t .

z t

x 1 9t

x 7 6t

z 3 3t

z 5 2t

3)

Найти точку, симметричную т. О(0,0,0) относительно плоскости

x-2y+4z-21=0.

4)

Найти пересечение параболоида x2 y2 2z плоскостью x=0.

№12