Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
матан 2й курс 1й сем часть 2.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
21.04.2019
Размер:
348.16 Кб
Скачать

Часть 2.

1.Определение дифференциального уравнения (д.У). Виды дифференциальных уравнений. Порядок дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

2.Три формы записи обыкновенного дифференциального уравнения 1 порядка ( о.Д.У.-1).

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

y′ = f(x)g(y). Уравнение с разделяющимися переменными.

g(x)y′ = f1(x)y + f0(x). Линейное уравнение.

y′ = f(y/x). Однородное уравнение.

3.Общее, частное и особое решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Интегральная кривая, семейство интегральных кривых.

Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x). 

Частным решением ДУ называется любая функция y=φ(x,c0), которая получается из общего решения y=φ(x,c), при конкретном значении с.

Задача нахождения частного решения ДУ, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

В точках плоскости, в которых нарушены условия теоремы Коши, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках терпит разрыв либо функция f(x,y) либо ее производная. Через каждую из таких точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит не одной.

Если линия состоит только из особых точек и является интегральной кривой ДУ, то функция y=φ(x) называется особым решением дифференциального уравнения.

Для того, чтобы найти особое решение ДУ, надо найти линию y=φ(x), в каждой точке которой терпит разрыв функция f(x,y) или ее производная, проверить является ли функция y=φ(x) решением данного уравнения.

Особое решение не содержится в общем решении , и не может быть выделено из него ни при каком конкретном значении с.

На рисунке изображена интегральная кривая — график решения дифференциального уравнения xdy + (y - cosx)dx, проходящего через точку с координатами (p/2, 2/p).

На рисунке изображены несколько интегральных кривых дифференциального уравнения xdy + (y - cosx)dx

4.Задача Коши для дифференциальных уравнений 1 порядка, ее геометрический смысл. Теорема Коши.

Теорема Коши.

Если в уравнении У'=ƒ(х;у) функция ƒ(x;y) и ее частная производная ƒ'y(x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (хо;yо), то существует единственное решение у=j(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Если непрерывна также частная производная данной функции, то это решение единственно.

Задача Коши.

Общим решением уравнения является все множество функций, обращающих при подстановке рассматриваемое уравнение в тождество. Пусть теперь требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию у (х0) = у0 называемому начальным условием. Если общее решение уравнения задается формулой у = φ (х, С) то значение постоянной С, соответствующее поставленному начальному условию, можно определить, подставив в равенство у = φ (х, С); х = х0 и у = у0.

Определение . Задача выбора из общего решения у = φ (х, С) уравнения решения, удовлетворяющего начальному условию у (х0) = у0 , называется задачей Коши, а выбранное решение называется частным решением уравнения .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (xо;yо).