матан2сем краткий конспект

Если в Д вместо любого столбца поставить числа b1, b2,…,bn, получим определители D1,D2,…,Dn, доказано Крамером, что решение системы находится так:

х1 D1 ,х2 D2 ,...,хn Dn

D D n

Лекции 7, 8.

Тема. Метод Гаусса. Теорема Кронекера – Капели.

Найти решение системы можно методом исключения неизвестных или методом Гаусса. Сразу применим матрицы. Запишем расширенную матрицу системы

и путем элементарных преобразований приведем к виду, когда ниже главной диагонали получим нули. Если матрица примет треугольный вид, получим одно решение, если к трапециодальному виду – получим множество решений.

При этом, если не получим несовместные уравнения, то решения существуют

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместны тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы.

Если дана система

где А – матрица системы, A - расширенная матрица системы.

r (A) = r ( A), система совместна. r (A) r ( A), система несовместна.

Для того чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы. Число базисных неизвестных равно r.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Всякая система однородных линейных уравнений имеет нулевое решение, значит

совместна. Для того чтобы система однородных линейных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг r этой системы был меньше числа неизвестных n. Для того чтобы система однородных линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, s=n, имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю.

Фундаментальной системой решений для системы однородных линейных уравнений называется линейно независимая система решений, через которую линейно выражается любое решение системы.

Если ранг r системы уравнений равен числу n неизвестных, то эта система не имеет фундаментальной системы решений, так как единственным решением будет нулевое решение,

Лекции 11, 12.

Тема. Векторное и смешанное произведение.

Векторным произведением называется вектор, образующий правую тройку с ненулевыми сомножителями, перпендикулярный к определяемой ими плоскости и модуль которого равен произведению их модулей и синуса угла между ними. Либо это нулевой вектор.

Линейность векторного произведения позволяет вычислить его координаты как определитель третьего порядка, строки которого - это базис R3 и координаты сомножителей.

В качестве приложения можно получить формулу площади треугольника с данными вершинами.

Смешанное произведение трёх векторов определяется как скалярное произведение первого и векторного произведения двух других.

Линейность смешанного произведения позволяет вычислять его как определитель матрицы, образованной тремя строками координат сомножителей.

Геометрическими приложениями является формула объёма тетраэдра, способ проверки на правую ориентацию и признак компланарности.

Векторные произведения векторов

Векторным произведением векторов a и b называют вектор c, для которого:

Обозначается так: c = a х b = [ab] Свойства:

1)aхb= -bхa

2)( a)хb) = (aхb)

3)(a+b)хc = aхc + bхc

4)aхb= 0, если a b

В прямоугольном базисе a х b определяется так:

Смешанное произведение векторов

Даны три вектора a, b, c. смешанным произведением векторов a, b, c называется число,

определяемое формулой a b c= (aхb) . c.

Лекции 13, 14, 15.

Тема. Уравнения прямой на плоскости

Координаты нормального вектора (А,В) используются в общем уравнении, тангенс угла наклона к оси абсцисс используется в уравнении с угловым коэффициентом, направляющий вектор используется в каноническом уравнении прямой.

Для решения задач удобны такие уравнения, как уравнение с данными двумя точками на

В качестве приложений выводятся формулы для угла между прямыми с применением угловых коэффициентов или направляющих векторов, формула для расстояния от точки до прямой, уравнение биссектрисы угла.

Прямая определяется направляющим вектором s {x,y}. т Мо (xо,yо) или двумя точками М1(x1,y1), М2(x2,y2). Имеем различные уравнения прямой:

1) Каноническое уравнение: x x0 y y0

3) Уравнение в отрезках: x y 1

ab

4)Уравнение с угловым коэффициентом: y kx b

5)Общее уравнение: Ax By C 0

6)Нормальное уравнение: xcos ysin p 0, cos2 sin2 1

7)Параметрическое уравнение: x mt x0

y nt y0

Прямые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Если даны две прямые

Лекции 16, 17.

Тема. Нормальное уравнение прямой.

Чтобы от общего уравнения прямой перейти к нормальному достаточно умножить обе части уравнения

Ax+By+C=0,

множителя выбирается противоположно знаку свободного члена нормируемого уравнения. При этом преобразовании получается уравнение называемое нормальным. Его можно представить в виде

xsin ycos p 0,

где угол , образуемый вектором OP перпендикулярным к прямой, а p OP при этом

Лекции 18, 19.

Тема. Кривые второго порядка

Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданны точек (фокусов) есть величина постоянная.

(пересекающихся, параллельных, совпадающих), точки, мнимых кривых, для которых в уравнении второй степени

Лекции 20, 21.

Тема. Система координат в пространстве. Уравнение плоскости.

Уравнением поверхности в прямоугольной декартовой системе координат называется алгебраическое уравнение, множество решений которой совпадает с множеством точек поверхности.

Плоскость задается общим уравнением, уравнением в отрезках, нормальным уравнением, каноническим уравнением, уравнением с данными тремя точками. По этим уравнениям можно определить угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

1. Пусть дана т. М0 ( x0 , y0 , z0 ) и векторы p, q. Уравнение плоскости находится так:

2. Даны 3 точки: М1 ( x1, y1 , z1 ), М2 (x2 , y2 ,z2 ), М3 ( x3 , y3 , z3 ). Уравнение плоскости запишется по формуле:

любом задании уравнение I степени с тремя переменными, т.е. уравнение Ax+By+Cz+D=0, это общее уравнение плоскости, A, B, C, D – коэффициенты уравнения. Если система прямоугольная декартовая то вектор n{a, b, c} есть нормаль к плоскости:

1)D=0, т О(0, 0, 0) принадлежит плоскости;

2)А=0 (В=0, С=0) плоскость параллельна оси Ox (оси Oz, оси Oy);

3)А=D=0 (В=D=0, C=D=0); плоскость содержит ось OX(OY,OZ);

4)A=B=0 (A=C=0, B=C=0) плоскость параллельна плоскости Oxy (Oxz, Oyz);

5)A=B=D=0 (A=C=D=0, B=C=D=0) плоскость совпадает с плоскостью Oxy (Oxz, Oyz);

Две плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

Пусть P1: A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0 P2 : A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0.

Лекции 22, 23.

Тема. Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой есть система линейных уравнений 2 3 с рангом матрицы 2. Параметрическое и каноническое уравнения используют направляющий вектор (m, n, p)

Общее уравнение приводится к каноническому виду посредством векторного умножения нормалей плоскостей.

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле sin (Am Bn Cp ) / n s . Расстояние между скрещивающимся прямыми вычисляется как высота параллелепипеда. Условием пересечения прямых в пространстве является равенство нулю смешанного

произведения двух направляющих векторов и вектора, соединяющего эти прямые. Прямую можно задать двумя точками М1 ( x1, y1 , z1 ), М2 ( x2 , y2 , z2 ) ее уравнение:

x x0 = y y0 = z z0 . Прямая может быть задана пересечением двух плоскостей:

Если e1 e2 : m1m2 n1n2 p1 p2 0.

Прямая e : x x0 = y y0 = z z0 и плоскость P : Ax+By+Cz+D=0 могут пересекаться, быть m n p

параллельными, прямая может принадлежать плоскости.

Условия параллельности: Am+Bn+Cp=0. Условия принадлежности: e P :

Ax0 By0 Cz0 D 0

Лекции 24, 25.

Тема. Поверхности второго порядка

Пусть A 2 B 2 C 2 0 . Рассматриваются канонические уравнения и форма эллипсоида, однополостного гиперболоида, эллиптического параболоида, гиперболического параболоида, конусов, цилиндров, поверхностей вращения.

Кроме мнимых поверхностей рассматривают точку, пары плоскостей.

Под поверхностью будем понимать множество точек пространства, удовлетворяющих уравнению:

F(x, y, z) = 0.

Рассмотрим поверхности второго порядка:

4)x2 + y2 =2z – элиптический параболоид. p q

Лекции 26-28.

Тема. Полярная система координат. Комплексные числа

Обозначим z= x+iy, x- вещественная часть z, y- мнимая часть z.

Можно говорить о векторе oz , который имеет модуль r = oz или r = z и характеризуется

углом ox,oz, его называют аргументом z.

Очевидно x= r cos irsin - это тригонометрическая форма комплексного числа, причем