TUD_Nogin / TUD / part3

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________135

Подставляя найденное для χ[W(t)] выражение в (**), придём к неравенству Ляпунова ■

З а м е ч а н и е 2. В случае комплекснозначной матрицы A(t) имеем SpA = ReSpA +i Im SpA . А так как согласно формуле Эйлера мнимая часть следа матрицы ограничена, то неравенство Ляпунова принимает вид

20. Равенство Ляпунова.

Следствие 1. Если для ф.с.р. X(t) линейной системы (1) с непрерывной, ограниченной вещественной матрицей A(t) имеет место равенство Ляпуно-

ва

то такая ф.с.р. является нормальной.

□ Для доказательства, не ограничивая общности, предположим, что в

Рассмотрим совокупность решений

Z ={x(1) ,...,x(ik −1) ,z,x(ik +1) ,...,x(n)}.

Она является ф.с.р., так как если предположить обратное, т.е.

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________137

данной системы верно SpA(t) ≡ 0, а значит равенство Ляпунова нарушается:

30. Правильные системы.

Существует известная связь между верхним и нижним пределами одной и той же функции. Благодаря этой связи и неравенству Ляпунова, получаем

t→+∞ t 0

где

m

S = ∑ns αs

s=1

есть сумма характеристических показателей (с учётом кратностей ns ) некоторой н.ф.с.р. системы (1).

З а м е ч а н и е 3. В аналогичном определении для системы (1) с комплекснозначной матрицей A(t) равенство (4) следует заменить на

y = x sin(lnt) + y cos(lnt),

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________138

При помощи подстановки нетрудно убедиться, что вектор-функции

являются решениями данной системы. Более того, они образуют линейно независимую систему и, тем самым, представляют собой ф.с.р. Кроме того, в силу

χ[C1x +C2y] = max{χ[x],χ[y]} =1,

это будет н.ф.с.р. Для такой н.ф.с.р. верно равенство S = 2. С другой стороны, имеем

= lim (sin(ln t) +cos(ln t)) = − 2 ≠ 2 = S.

t→+∞

Полученное в итоге неравенство свидетельствует о том, что данная система неправильная.

40. Приводимые системы.

называют преобразованием Ляпунова, если непрерывно дифференцируемая при

t≥0

2)sup L&(t) < +∞;

t≥0

3)K > 0, t ≥ 0 : det(L(t)) ≥ K .

Важное свойство преобразования Ляпунова раскрывает следующая

Лемма 1. Преобразование Ляпунова сохраняет значение характеристического показателя, т.е.

y = L(t) x χ[y] = χ[x] .

□ Из (5) на основе условия 3) получаем x = L−1(t) y . Поэтому

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________140

причём, так как по условию X – н.ф.с.р., то и Y – н.ф.с.р. Но для Y характеристическими показателями являются вещественные части корней характеристического уравнения det(B – λE) = 0, где каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Поэтому

SY = ∑Reλk = Re ∑λk = ReSpB = SpB .

Отсюда вместе с учетом (**)–(***) следует

т.е. система (1) действительно правильная ■ Из доказанной теоремы очевидным образом вытекает

Следствие 2. Любая линейная однородная дифференциальная система с постоянной матрицей является правильной.

Можно доказать (см. [3]), что в случае, когда матрица A(t) линейной системы (1) является периодической, эта система также будет правильной.

Упражнение

1. Доказать, что линейная система (1) второго порядка с матрицей

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________141

неприводима.

§ 7. Теорема Перрона

10. Взаимно сопряжённые системы. Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений

где A*(t) = AT (t) есть сопряжённая матрица для A(t) , называют сопряжённой системой для системы (1).

Если A(t) – вещественная матрица, то A*(t) = AT (t) и сопряжённая система для системы (1) принимает вид

ddty = −AT (t) y .

Нетрудно проверить, что система (1), в свою очередь, является сопряжённой для системы (2). На этом основании о системах (1) и (2) говорят как о вза-

имно сопряжённых системах.

Лемма 1. 1) Для любых решений x и y взаимно сопряжённых систем (1) и (2) выполняется

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________142

где Y* – сопряжённая для Y матрица. Обратно, из выполнения равенства (4)

Дифференцируя (6) по правилу дифференцирования обратной матрицы, с учётом (7) получаем

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________143

причём

det(Y) = det((X* )−1 C* )= det(X* )−1 det(C* ) = det(X)−1 det(C) ≠ 0 .

Полученное означает, что Y является ф.м.р. системы (2) ■

20. Критерий правильности системы.

Лемма 2. Линейная однородная система (1) с непрерывной, ограниченной и в общем случае комплекснозначной матрицей A(t) является правильной тогда и только тогда, когда

где S – сумма всех характеристических показателей данной системы.

□ Часть «достаточность» вытекает из определения правильной системы. Для доказательства необходимости введём обозначения

Согласно неравенству Ляпунова S ≥ σ. Но из-за того, что система (1) правильная, верно равенство S = σ. Следовательно, σ ≥ σ, что вместе с неравенством σ ≤ σ, связывающим нижний и верхний пределы, влечёт равенство σ = σ. Отсюда с учётом S = σ приходим к (8) ■

30. Теорема Перрона.

Теорема 1 (О. Перрон). Линейная система (1) с непрерывной, ограниченной и в общем случае комплекснозначной матрицей A(t) является правильной тогда и только тогда, когда полный спектр

α1 ≤ α2... ≤ αn

этой системы и полный спектр

β1 ≥ β2 ≥... ≥ βn

сопряжённой системы (2) симметричны относительно нуля, т.е.

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________144

Первое слагаемое в правой части (**) равно нулю. Рассмотрим подробнее второе и третье слагаемые. Прежде всего заметим, что система (1) правильная, а значит, в силу леммы 2