ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________28

§3. Устойчивость линейных однородных систем

Впредыдущем параграфе было установлено, что для линейных систем проблема устойчивости (асимптотической устойчивости) может быть сведена к аналогичной проблеме для соответствующей однородной системы. Как показывается ниже, для линейной однородной системы можно получить критерий устойчивости (а также асимптотической устойчивости) в терминах ограниченно-

сти (соответственно – предельного поведения) её решений.

10. Норма матрицы. Пусть A = (aij )n×m – прямоугольная матрица. Далее

будем иметь дело с тремя нормами матрицы, а именно

При этом если некоторое соотношение будет выполняться для каждой из этих трёх норм, то индекс у нормы будет опускаться. В частности, имеет место неравенство A B ≤ AB .

20. Устойчивость линейной однородной системы с вещественной мат-

рицей. Рассмотрим систему

рядка.

Как показывает следующая теорема, устойчивость линейной однородной системы (1) эквивалентна ограниченности всех её решений (что равносильно ограниченности её какой-либо фундаментальной матрицы).

Теорема 1. Линейная однородная система (1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда каждое её решение x = x(t) (t ≥ 0) ограничено на

промежутке [0,+∞).

□ Достаточность. Рассмотрим нормированную фундаментальную матри-

цу

причем X(t0 ) = E – единичная матрица. Из ограниченности всех элементов матрицы X(t) следует её ограниченность по норме, т.е.

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________29

как только x(t0 ) < Mε = δ.

Полученное означает устойчивость нулевого решения системы (1). Следовательно, по теореме 1 предыдущего параграфа устойчиво любое её решение.

Необходимость. Пусть система (1) устойчива. Докажем ограниченность каждого её решения на промежутке [0,+∞). С этой целью предположим противное: существует решение z(t) системы (1), неограниченное на [0,+∞). При этом, не уменьшая общности, можно считать, что z(0)≠ 0 .

Зафиксируем ε > 0 и выберем произвольное δ > 0 . Рассмотрим решение

Таким образом, нулевое решение системы (1) неустойчиво по Ляпунову при t → +∞, а тогда по теореме 1 предыдущего параграфа система (1) вполне неустойчива ■

Следствие 1. Если линейная неоднородная система дифференциальных

уравнений устойчива, то все её решения либо ограничены, либо не ограничены при t → +∞.

Пример 1, показывающий, что у нелинейной системы при наличии ограниченности всех её решений свойство устойчивости может отсутствовать. Рас-

смотрим уравнение x& = sin2 x (t ≥ 0). Его общее решение имеет вид

где 0 ≤ Arcctg(t) ≤ π. Все эти решения, очевидно, ограничены на [0,+∞) , однако нулевое решение неустойчиво, так как для любого x0 (0,π) выполнено

lim x(t)= π.

t→+∞

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________30

Благодаря простой структуре (точнее говоря, линейности) рассматриваемой системы (1) вопрос о её асимптотической устойчивости также существенно упрощается и может быть выражен в терминах предельного поведения решений этой системы при t → +∞.

Теорема 2. Линейная однородная система (1) асимптотически устойчи-

силу (***) она ограничена на [0,+∞), а значит согласно теореме 1 система (1) устойчива, причём её нулевое решение асимптотически устойчиво. Отсюда, благодаря теореме 2 предыдущего параграфа, следует асимптотическая устойчивость системы (1) ■