ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________24

x0 + 2 − x0 e−2(t −t0 ) = 2 − x0 (e−2(t −t0 ) −1)≥ 2 − x0 e−2(t −t0 ) −1 ≥ 2 −1 =1,

то для наличия устойчивости нужно, чтобы имело место неравенство

t ≥ t0 . Следовательно, нулевое решение уравнения в отклонениях равномерно

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________25

то нулевое решение данного уравнения является асимптотически устойчивым.

2)Исследовать на устойчивость решения следующих дифференциальных уравнений с указанными начальными данными:

i) x& = x2 −3x , x(2) = 3;

3) Установить равномерную устойчивость нулевого решения с.д.у.

Будет ли нулевое решение этой системы асимптотически устойчивым? 4) Установить устойчивость нулевого решения с.д.у.

§ 2. Общие теоремы об устойчивости линейных систем

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________26

Оказывается, устойчивость произвольного решения линейной системы (1) может быть установлена на основе анализа устойчивости лишь одного нулевого решения, причем более простой – однородной системы. Этот факт, являющийся прямым следствием линейности системы составляет содержание следующей ниже теоремы.

Для системы (1) выпишем соответствующую однородную систему

О п р е д е л е н и е 1. Линейную систему (1) называют устойчивой (вполне неустойчивой), если все её решения устойчивы (соответственно – неустойчивы) по Ляпунову.

З а м е ч а н и е 1. Определение 1 корректно, поскольку, как будет показано далее, все решения линейных систем одновременно либо устойчивы, либо неустойчивы.

Теорема 1. Какова бы не была вектор-функция f (t) устойчивость линей-

ной системы (1) эквивалентна устойчивости соответствующей однородной системы (2). Однородная система (2) устойчива тогда и только тогда, когда устойчивым является её нулевое решение.

□ Пусть η= η(t) (t ≥ 0) – произвольное решение неоднородной системы

(1). При любой вектор-функции f (t) система в отклонениях (при выполнении замены y = η+ x ) для системы дифференциальных уравнений (1) совпадает с (2), а значит, устойчивость произвольного решения η(t) системы (1) равносильна устойчивости нулевого решения системы (2) (см. п. 30 предыдущего параграфа). В частности, при f (t)≡ 0 отсюда получаем справедливость второй

части теоремы. Но тогда согласно вышесказанному справедлива и первая часть теоремы ■

(1) топологически эквивалентно (с сохранением близости) полю интегральных кривых x(t) = X(t) c соответствующей однородной системы (2) (рис 1.6).

x

y

x ≡ 0

t

Рис. 1.6. Топологическая эквивалентность решений линейных систем (1) и (2).

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________27

Следствие 1. Линейная система (1) устойчива, если устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и вполне неустойчива, если неустойчиво некоторое её решение.

На основании теоремы 1 исследование устойчивости линейных систем всегда можно ограничить лишь классом однородных систем; именно это и будет сделано в следующем параграфе.

Перейдем к рассмотрению асимптотической устойчивости линейной системы. Здесь положение такое же, как и в случае простой устойчивости: наличие (или отсутствие) этих свойств у произвольной линейной системы равносильно наличию (или отсутствию) этих же свойств у соответствующей однородной системы. Это прямо следует из рассмотрения для системы (1) соответствующей системы в отклонениях, совпадающей с (2).

О п р е д е л е н и е 2. Линейная система (1) называется асимптотически устойчивой, если асимптотически устойчивы все её решения.

Теорема 2. Асимптотическая устойчивость линейной системы (1) эквивалентна асимптотической устойчивости соответствующей однородной системы (2). Однородная система (2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчивым является её нулевое решение.

Следствие 2. Линейная система (1) асимптотически устойчива, если таковым является хотя бы одно решение этой системы (в частности, её нулевое решение).

Упражнения

1) Установить асимптотическую устойчивость линейной системы

2)Проверить, что всякое устойчивое решение системы (1) равномерно устойчиво по Ляпунову.

3)Пусть векторная функция f(t) в (1) непрерывна и ограничена при t ≥ 0. Доказать, что любое решение асимптотически устойчивой системы (1) с постоянной матрицей A ограничено на промежутке [0,+∞).

4)Доказать, что если линейная система (1) асимптотически устойчива, то всякое её решение асимптотически устойчиво в целом.