yδ (t0 )−η(t0 )

< δ,

yδ(t1 )− η(t1 )

≥ ε.

Существует более «сильная» форма устойчивости, чем простая устойчи-

вость по Ляпунову; она вводится следующим определением.

О п р е д е л е н и е

4. Решение

η = η(t)

( t ≥ 0) системы (1) называют

асимптотически устойчивым по Ляпунову при t → +∞, если

1)

это решение устойчиво по Ляпунову и, кроме того,

2)

для любого t0 ≥ 0

существует такое

= (t0 )> 0 , что все решения

y = y(t), удовлетворяющие неравенству

y(t0 )−η(t0 )

<

, обладают

предельным свойством

lim

y(t) − η(t)

= 0 .

(2)

t→+∞

dx = P(x, y),

dt

(*)

= Q(x, y),

dy

dt

с функциями P, Q , непрерывными на

R2

и обладающими свойством P(0,0) =

Q(0,0) = 0.

Здесь

начало

координат

y

является

положением равнове-

сия. Одна из траекторий пред-

ставляет собой

положительную

полуось Ox (без нуля), но с про-

тивоположным

направлением

при t → +∞. Еще одна траекто-

рия имеет вид окружности, ка-

сающейся как оси абсцисс, так и

окружности,

изображенной

x пунктирной линией; траектория,

отвечающая

этой

окружности

асимптотически выходит из на-

Рис. 1.4. Фазовый портрет системы (*).

чала координат и таким же об-

разом при

t → +∞

к нему при-

птотически устойчиво по Ляпунову. При заданном t0 ≥ 0

множество всех то-

чек y0 Rn , для которых выполняется равенство

lim

y(t; t0 , y0 ) −η(t)

= 0 ,

(2)

t→+∞

называют областью асимптотической устойчивости (областью притяжения)

решения η(t).

Здесь

y = y(t;t0 , y0 ) –

решение

системы (1) с начальными данными

(t0 , y0 ) , т.е. y(t0;t0 , y0 ) = y0 .

О п р е д е л е н и е 6.

Пусть правая часть системы (1) задана при всех

t0 ≥ 0

и y Rn . Если решение η= η(t)

асимптотически устойчиво и для лю-

бого

t0 ≥ 0

область притяжения совпадает со всем фазовым пространством

Выполняется замена переменных

y(t) = x(t) + η(t),

t ≥ 0 ,

где x(t) – новая искомая вектор-функция. Тогда

dy

=

dx

+

dη

=

dx

+f (t, η(t))= f (t, x + η(t)) .

dt

dt

dt

dt

1444442444443

(3)

О п р е д е л е н и е 7. Систему

dx

= f (t, x + η(t)) −f (t, η(t))=: Q(t, x)

(3)

dt

называют системой в отклонениях. Здесь Q(t,0) = 0 для всех

t ≥ 0 , т.е. сис-

тема (3) имеет нулевое решение

x ≡ 0 .

Решению η= η(t)

системы (1) при выполнении указанного преобразова-

устойчиво, если для любого

ε > 0

и каждого

t0 ≥ 0

найдется такое число

δ = δ(ε, t0 )> 0 , что как только

x(t0 )

< δ,

то верно неравенство

x(t)

< ε

при

всех t ≥ t0 , где x = x(t) – произвольное решение системы (3) (см. рис. 1.5).

Для нулевого решения системы

x

(3) можно сформулировать определе-

ния равномерно, а также асимптоти-

ε

x(t)

чески устойчивого решений, области

δ

асимптотической

устойчивости,

асимптотически устойчивого в целом

0

t0

t

и неустойчивого решений (читателю

предлагается соответствующие опре-

–δ

деления выписать самостоятельно).

–ε

40. Примеры.

Рис. 1.5. Иллюстрация к определению 8.

1) Исследуем на устойчивость ре-

шение

линейного

уравнения

y′ =1+ t − y , удовлетворяющее

на-

чальному условию y(0)= 0 . Общее решение этого уравнения в форме Коши

имеет вид

y(t;t0 , y0 )= y(t)= e−(t −t0 )(y0 + t et −t0 − t0 )

(t0 ≥ 0) .

Начальному условию y(0)= 0

отвечает решение

y = η(t)= t .

y(t; t0 , y0 )− η(t)

=

y0 − t0

e

−(t −t0 )

(η(t0 )= t0 ).

Пусть

y0 − η(t0 )

=

y0 − t0

< δ. Тогда верно

y(t;t0 , y0 )− η(t0 )

< δ e−(t −t0 ).

Для устойчивости рассматриваемого решения нужно, чтобы выполнялось

неравенство δ e−(t −t0 ) ≤ ε. Отсюда получаем

δ ≤

ε

= ε et−t0

t ≥ t0 .

e

−(t-t0 )

Следовательно, если взять δ = ε,

то будет верно

y0 − η(t0 )

< δ = ε,

а значит и

неравенство

y(t; t0 , y0 )− η(t)

< ε e−(t−t0 )

≤ ε

для всех t ≥ t0 .

Тем самым, устойчивость

по

Ляпунову

установлена. А

так как

′

2

y′=

r (t)

sin

t

2

y ,

r(t) =

t +1 + cos

t

( t ≥ 0 ).

r(t)

Имеем

r(t)

≤

sin2 t

+

cos2 t

≤1 +1 = 2 для всех

t ≥ 0 . Нетрудно проверить, что

t +1

r(t)

общее решение в форме Коши имеет вид y(t)= y

. При | y

|< δ для вы-

0

r(t0 )

0

полнения устойчивости можно записать

y(t)− 0

=

y

r(t)

≤

2

y0

<

2δ

≤ ε.

ε r(t0 )

0

r(t0 )

r(t0 )

r(t0 )

Отсюда

δ≤

. Значит, можно положить

δ =

ε

r(t0 )

. При этом ясно, что

2

2

величину δ невозможно выбрать не зависящей от

t0 . Следовательно, нулевое

решение (неравномерно) устойчиво по Ляпунову.

3) Перейдем к уравнению y′ =1 − y2

и исследует на устойчивость его реше-

ние η(t) =1.

Предварительно

выполним

замену

y = x + η= x +1. Получим

x′=1 −(x +1)2

или

x′ = −x(x +2). Интегрируем полученное уравнение в от-

клонениях: