Введение в теорию устойчивости_________________________________________________11
сти часто приводит) к полному уничтожению популяции из-за неустойчивости положения равновесия x0= с1 = с2.
3о . Типы устойчивости по начальным данным.
1) Устойчивость по Ляпунову.
Этот тип устойчивости реализует идею близости интегральных кривых при 0 ≤ t < +∞. Для скалярного уравнения x& = f(t, x) на примере решения x =
x(t; 0 ,x0) с начальными данными (0, x0) (см. рис. 7) устойчивость по Ляпунову может быть охарактеризована следующим образом:
( ε > 0 ) ( δ* > 0) ( δ (0 , δ*)) ( t ≥ 0 ) : x = x(t; 0 ,x0 ± δ) ε-полосе.
Как видим, устойчивость по Ляпунову означает, что за счёт выбора начала возмущенной интегральной кривой в момент времени t = 0 достаточно близким к точке x0 невозмущенной (жирной) интегральной кривой можно добиться того, чтобы возмущенная интегральная кривая при неограниченном увеличении времени не покидала пределы сколь угодно узкой ε-полосы невозмущенной интегральной кривой.
x
x0 + ε
x0 ε-полоса x0 – ε
t
Рис. 7. Устойчивость по Ляпунову.
2) Устойчивость по Пуанкаре (орбитальная устойчивость).
Здесь также реализована идея близости, но не для интегральных кривых, а для траекторий, т.е. проекций интегральных кривых на фазовое пространство.
Например, винтовой кривой, задаваемой в пространстве уравнениями x = sint, y = cost, t ≥ 0 (рис. 8),
Введение в теорию устойчивости_________________________________________________12
Рис. 8. Винтовая кривая.
отвечает окружность
t = π/2
0 |
1 |
x1 |
Траектория
(орбита)
t = 0 x2
Рис. 9. Проекция винтовой кривой на фазовое пространство.
Исходя из этого примера, нетрудно понять, что близость траекторий на плоскости в общем случае не влечёт близость соответствующих интегральных кривых в пространстве. Поэтому из устойчивости по Ляпунову следует устойчивость по Пуанкаре, но не наоборот.
3) Устойчивость по Жуковскому.
Этот тип устойчивости характеризуется той же комбинацией символов, что и устойчивость по Ляпунову, но в ней вместо переменной времени t фигурирует некоторая функция τ(t), изменяющая течение времени (замедляющая или ускоряющая его), причем τ(t0) = t0.
Устойчивость по Ляпунову влечет устойчивость по Жуковскому, откуда вытекает устойчивость по Пуанкаре. Обратное, вообще говоря, места не имеет.
4)Практическая устойчивость и неустойчивость.
Поясним этот тип устойчивости на следующем примере. Пусть
x = p(t) x , |
(4) |
& |
|
где функция
Введение в теорию устойчивости_________________________________________________13
ln a, |
|
0 ≤ t ≤ a, a >1, |
|
|
|
|
−t) ln a, |
a ≤ t ≤ a +1, |
p(t) = (a +1 |
||
|
|
|
|
|
t ≥ a +1, |
0, |
|
непрерывна и ограничена; ее график представлен на рис. 10.
p
p(t)
ln a
t
a |
a + 1 |
Рис. 10. График функции p(t).
Обозначим x(0) = x0 . Общее решение уравнения (4) имеет вид
x0 a t , |
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ a, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−(a +1−t)2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
aa a |
|
, |
|
a ≤ t ≤ a +1, |
|||
x(t) = x0 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 aa +0.5 , |
|
|
|
|
t ≥ a +1. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, при a = 10 |
получаем решение |
||||||
x0 10t , |
|
|
|
|
0 ≤ t ≤10, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−(11−t)2 |
|
|||
|
1010 10 |
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
10 ≤ t ≤11, |
|||||
x(t) = x0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
t ≥11, |
x0 1010.5 , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
график которого при некотором x0 > 0 |
изображен на рис. 11. |
||||||
Введение в теорию устойчивости_________________________________________________14
x
x = x(t)
x0 1010.5
x0 1010
x0 |
|
x ≡ 0 |
10 |
11 |
t |
|
Рис. 11. Практическая неустойчивость.
Здесь положение равновесия x ≡ 0 устойчиво по Ляпунову. Однако, ес-
ли, например, |
x |
0 |
=10−3 , то решение x =x(t; 0,x ) в момент времени t = 11 от- |
|
|
0 |
клонится от невозмущенного решения x ≡ 0 на величину порядка 107,5 . Допустимо ли такое значительное отклонение на практике? Ответ на этот вопрос зависит от конкретного изучаемого явления (объекта) и вполне может быть отрицательным, хотя теоретически решение x ≡ 0 является устойчивым.
Теперь в уравнении (4) примем
0, |
|
0 ≤ t ≤ a, |
|
|
|
|
−a) ln a, |
a ≤ t ≤ a +1, |
p(t) = (t |
||
|
|
|
|
|
t ≥ a +1. |
ln a, |
||
В этом случае общее решение уравнения (4) будет иметь вид
x |
0 , |
|
|
|
0 ≤ t ≤ a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t −a)2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 , |
a ≤ t ≤ a +1, |
|||
x(t) = x |
0 |
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
a 2 |
, |
|
t ≥ a +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Его график при некотором x0 > 0 изображен на рис. 12. Это будет кривая, составленная из отрезка прямой горизонтальной линии и фрагментов экспонент.
Введение в теорию устойчивости_________________________________________________15
x
x = x(t)
x0 a1/2
x0
a |
a +1 |
t |
|
Рис. 12. Практическая устойчивость.
Теоретически стационарное решение x ≡ 0 здесь неустойчиво по Ляпу-
нову. Примем a =109 . Тогда на промежутке 0 ≤ t ≤109 решения x ≡ 0 и x(t) будут близкими, если x0 мало. Неустойчивость здесь начинает проявляться
только при t ≥109 . Если за пределами указанного временного отрезка процесс нас уже не интересует, то решение x ≡ 0 можно считать практически устойчивым.
5)Устойчивость относительно части переменных. Ее смысл раскрыва-
ется в самом наименовании.
6)Условная устойчивость аналогична обычной устойчивости, но при условии, что на начальные возмущения наложены некоторые ограничения, т.е. они могут принадлежать лишь некоторому заданному многообразию.