3.3 Математическая модель элемента системы

Построение математической модели сложной системы в целом оказывается практически невозможно, что предполагает декомпозицию системы, что выводит на первый план понятие подсистемы или элемента системы – сложная система является многоуровневой конструкцией из взаимодействующих элементов (подсистем). Такой подход к представлению процесса (системы) принято называть структуризацией объекта (оригинала) моделирования. В таком случае, математическая модель процесса (системы) состоит из математических моделей элементов и математических моделей связей между элементами [бусл].

Математические модели широкого класса детерминистических объектов (влияние случайных факторов не учитывается) в дискретном времени определены в различных типах конечных автоматов. Детерминистские объекты, функционирующие в непрерывном времени, обычно описываются дифференциальными уравнениями (общий вид):

,

где – характеристика состояния системы, а в качестве выходного сигнала может быть взята любая функция состояния.

Стохастические объекты (при описании которых учитываются случайные факторы) функционируют (оцениваются, измеряются) в дискретном времени и могут быть представлены с учетом вероятности состояния (вероятностные автоматы), что предполагает вероятность состояния с учетом перехода (автомат со случайными переходами), а функция выходов - распределение вероятностей на множестве выходных сигналов (автомат со случайными выходами). Функционирование вероятностных автоматов изучается при помощи цепей Маркова. Для формирования математических моделей стохастических объектов с непрерывным временем используются модели систем массового обслуживания или представители марковских случайных процессов.

Общие свойства динамических систем в широком смысле (характеризуются обыкновенными дифференциальными уравнениями - детерминистскими и стохастическими, с непрерывным и дискретным временем) характеризуются:

- элемент сложной системы функционирует во времени: в каждый момент времени t он находится в одном из возможных состояний z;

- с течением времени элемент переходит из одного состояния в другое под действием внутренних и внешних причин;

- в процессе функционирования элемент взаимодействует с другими элементами сложной системы и объектами внешней среды (получает входные сигналы x и выдает выходные сигналы y).

Множество состояний динамической системы будем обозначать Z, множество входных сигналов X, а множество выходных сигналов Y. кроме того, множество моментов времени t, в которых определена динамическая система, обозначим T.

Отображение T → Z называется движением динамической системы и обозначается z(t). Совокупность состояний z, соответствующих всем t в данном движении, называется траекторией этого движения. Отображение x(t): T→X – входной процесс, а y(t): T→Y – выходной процесс динамической системы.

Состояние z динамической системы не всегда можно представить как число, обычно оно описывается некоторым набором характеристик z₁, z₂, …, z_n, что отражается соотношением

.

Если характеристики z_i, i = 1, 2, …, n, являются числами, то состояние z рассматривается как вектор с координатами . В общем случае, когда z_i не являются числами (например, они – векторы, матрицы или объекты более сложной природы), состояние z интерпретируется как «обобщенный» вектор, а характеристики z_i – как его координаты.

То же самое можно сказать и о сигналах. Входной сигнал представляется как , а выходной как .