3.2 Общие принципы математического моделирования

Формализации любого реального процесса (системы) предшествует изучение структуры составляющих его явлений. В результате этого составляется так называемое содержательное описание процесса (системы), которое представляет собой начальный этап формулирования закономерностей функционирования процесса (системы) и реализуется в постановке прикладной задачи. Содержательное описание – исходный материал для последующих этапов формализации: построение формализованной схемы процесса (системы) и математической модели.

Содержательное описание процесса (системы) в словесном выражении (концептуальная модель) концентрирует сведения о физической природе и количественных характеристиках элементарных явлений исследуемого процесса (системы), о степени и характере связей в общем процессе функционирования процесса (системы). Изучение процесса (системы) предполагает наблюдение за ним и фиксацию количественных характеристик, проведение экспериментов и т.п. Если процессы и системы реально не существую (проектируются), для составления содержательного описания может использоваться накопленный опыт и результаты моделирования аналогичных процессов (систем) с учетом особенностей моделируемого процесса.

Дополнительные материалы для содержательного описания процесса (системы) включают информацию о постановке прикладной задачи (цели моделирования):

- изложение идеи предполагаемого исследования;

- основные факторы, которые следует учесть при моделировании;

- исходные данные для проведения исследований: численные характеристики известных величин, значения начальных (граничных) условий;

- перечень искомых величин с указанием их практического предназначения;

- требуемую точность измерений при проведении экспериментов.

Составление формализованной схемы процесса (системы) является следующим этапом математического моделирования. Она разрабатывается для сложных процессов (систем), при условии трудности формализации элементов и др. Формализованная схема требует совместных усилий математиков и специалистов прикладной области знаний. Форма представления может быть произвольной, но содержание должно включать формальное описание процесса (системы):

основные характеристики процесса (системы);

система параметров (характеристик) процесса;

система связей элементов;

основные факторы для учета;

систематизированная и утоненная совокупность исходных данных;

известные параметры и начальные (граничные) условия.

Построение формализованной схемы завершается точной математической формулировкой задачи исследования с указанием окончательного перечня искомых и оцениваемых зависимостей. Для уточнения формализованной схемы и построения математической модели могут потребоваться дополнительные исследования и эксперименты или наблюдения исследуемого процесса (системы).

Для преобразования формализованной схемы в математическую модель необходимо:

записать в аналитической форме все соотношения между характеристиками;

выразить логические условия (например, в виде систем неравенств);

придать (по возможности) аналитическую форму всем другим сведениям, содержащимся в формализованной схеме (числовые данные процесса, аппроксимация, статистическая обработка и др.).

Математическая модель в общем случае не полностью идентична формализованной схеме, имеют место определенные искажения количественных характеристик исследуемого процесса, что предполагает определенные ограничения при использовании математической модели.

При любом способе использования математической модели для исследования реального процесса (системы) наиболее значимыми являются искомые величины (результаты моделирования) – параметры, определение которых является целью моделирования и способы использования математической модели для их определения:

аналитическое исследование процессов (систем);

исследование процессов (систем) при помощи численных методов;

цифровое моделирование;

имитационное (цифровое, аппаратурное, стендовое, аналоговое) моделирование.

Аналитическое исследование процессов (систем) предполагает, что математическая модель в первоначальном виде, как правило, требует доработки:

- представление в явном виде искомых величин – преобразование системы математических соотношений (например, уравнений), которая допускает получение нужного результата;

- приведение уравнений к виду, для которого решения известны;

- проведение исследования уравнений качественными методами (оценка асимптотических значений, оценка устойчивости и др.)

Использование аналитических методов удается редко, т.к. преобразование математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное решение, является трудной задачей для сложных процессов (систем). Заманчивость такого метода (полное теоретическое решение задачи исследований) приводит к упрощениям и огрублениям реальной картины явлений (процессов функционирования системы), что предполагает ограничения по использованию результатов использования аналитических методов исследования.

Численные методы исследования процессов (систем) требует преобразования математической модели в систему уравнений (математических построений), допускающих эффективное решение численными методами. Результаты представляются, например, в форме таблиц значений искомых величин для конечного набора значений параметров системы, начальных условий и времени.

Класс математических задач, которые могут быть решены приближенно численными методами, значительно шире, чем класс уравнений, доступных аналитическому исследованию, но полнота решения существенно ограничена, что предполагает ограничение реализаций исследуемого процесса (системы) и условий его функционирования.

Кроме того, преобразование математической модели в форму, допускающую использование численных методов не всегда возможно им пригодно для цели исследований, что ограничивает использование метода исследования.

Для моделирования процесса (системы) на вычислительных системах (цифровое моделирование) необходимо преобразовать математическую модель процесса (системы) в специальный моделирующий алгоритм. Явления исследуемого процесса (системы) и процессы, происходящие в ЭВМ, реализующие моделирующий алгоритм, различны по своему физическому содержанию. Они должны быть близкими с точки зрения состава и характера информации, описывающей поведение реальной системы, информации, используемой для моделирования.

Имитационное моделирование (цифровое, аппаратурное, стендовое, аналоговое и др.) не требует (и не отрицает!) наличия физического сходства между процессами (системами) и процессами в моделирующем устройстве. Основное требование – имитация в определенном смысле элементарных явлений, составляющих исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры, последовательности протекания во времени, характера и состава информации о состояниях процесса (системы).

Такой метод исследований предполагает, что структура моделирующего алгоритма слабо зависит от совокупности искомых величин. А определяется строением математической модели. В этом случае процесс моделирования предполагает не только создание специальных моделирующих установок (см. физическое моделирование) или специализированных моделирующих систем (аналоговое моделирование). Моделирование можно провести при помощи универсальных ЭВМ.