Лекции / семестр4 / Лекции МП-2 (Альшина) / Pr6

§16. Ортонормированные системы функций,

1. Евклидовы пространства

Проблема разложения функции в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения вектора по базису.

Из курса линейной алгебры известно, что если в линейном пространстве конечной размерности выбрать некоторый базис, то элемент пространства может быть разложен по этому базису. Сложность лишь в том, что пространство функций бесконечномерно, т.е. можно найти любое сколь угодно большое число линейно независимых функций. Особенно удобным (из курса линейной алгебры) является ортогональный базис. В этой главе мы построим ортогональный базис в пространстве функций.

О Линейное пространство (в частности, пространство функций) называется евклидовым, если в нем задано правило, посредством которого f и g – элементам этого пространства ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением и указанное правило удовлетворяет следующим аксиомам:

1^o (f,g) = (g,f) (переместительное свойство)

2^o (f+g,h) = (f,h) + (g,h) ( распределительное свойство)

3^o (f,g) = (f,g) для Real

4^o (f,f) > 0, если f – ненулевой элемент

(f,f) = 0, если f - нулевой элемент

Пример. Рассмотрим пространство функций кусочно-непрерывных на сегменте [a,b], т.е. непрерывных всюду, за исключением быть может конечного числа точек, где функция имеет разрыв 1-го рода. В точках разрыва x_i доопределим функцию

Введем скалярное произведение по правилу , где - произвольная весовая функция .

Проверим выполнение аксиом скалярного произведения.

1^o,2^o и 3^o выполнены в силу линейных свойств интеграла.

4^o

Под интегралом стоит неотрицательная, отличная от 0 функция интеграл положителен

Под интегралом 0 значение интеграла 0 (f,f)=0

Т.о. введённое нами функциональное пространство является евклидовым. Оно имеет название

Для элементов евклидова пространства справедливы следующие свойства:

1) - неравенство Коши-Буняковского

Доказательство: (f-g, f-g)0 ( По аксиоме 4^о₎

²(f,f)-2(f,g) +(g,g)0 - это квадратный трехчлен относительно .

Необходимое и достаточное условие неотрицательности квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта

т.о. (f,g)²-(f,f)(g,g)0

(f,g)²(f,f)(g,g).

2) Во всяком евклидовом пространстве можно ввести понятие нормы элемента (),

определенное как

Норма элемента евклидова пространства обладает следующими свойствами:

1^о , если f - не нулевой элемент , если f - нулевой элемент (следует из аксиомы 4^о)

2^о Real.

3^о (неравенство треугольника)

Д (неравенство К-Б)

В частности для евклидова пространства неравенства Коши-Буняковского и треугольника принимают вид:

неравенство Коши-Буняковского.

неравенство треугольника.

2. Ортогональность элементов евклидова пространства

О Два элемента евклидова пространства называются ортогональными, если их произведение равно 0.

Рассмотрим в бесконечномерном евклидовом пространстве бесконечную последовательность элементов ₁, ₂ , ₃, ... {_к}

О Последовательность {_к}называется ортонормированной системой , если

(_к, _m) = =

В этом случае все элементы системы попарно ортогональны и норма каждого элемента равна 1.

Классическим примером ортонормированной системы в пространстве (весовая функция , в этом случае в названии пространства ее опускают) является тригонометрическая система.

Легко проверить ортонормированность тригонометрической системы.

Д

Аналогично

и так далее.

Т.о. все функции тригонометрической систему попарно ортогональны.

Квадраты норм всех функций :

Известны и другие ортонормированные системы функций

1)Полиномы Лежандра ортогональны на [-1,+1] с весом

n=0,1,2 …

2) Полиномы Чебышева

ортогональны на [-1,1] с весом

3) Полиномы Эрмита ортогональны на с весом

и другие.

, , , …

§17 Общий ряд Фурье

1. Задача о наилучшем среднеквадратичном приближении

Пусть в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве задана ортонормированная система элементов {_к}

О Назовём рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе {_к}

ряд вида f_k _к, где f_k=(f, _к) – коэффициенты Фурье элемента f

O Конечная сумма S_n=f_k _к - частичная сумма ряда Фурье.

Рассмотрим произвольную линейную комбинацию из n первых элементов ортонормированной системы {_к}

C_k_к

с произвольными постоянными C_k

Выясним, что отличает частичную сумму ряда Фурье f_k _к от любой другой суммы C_k _к

О - отклонение элемента f от элемента g в норме данного евклидова пространства.

Т17.1 Среди всех сумм вида C_k _к наименьшее отклонение от элемента f имеет n-ная частичная его ряда Фурье f_k _к

Д || C_k _к-f ||² = (C _k _к - f, C_m _m - f) =

= (C_k _к, C_m _m) - 2C_k(_к,f) + (f,f) =

Учитывая, что (_к, _m)=

C_k² - 2C_kf_k +=C_k² - 2C_kf_{k +}f_k² -f_k² +=

=(C_k- f_k) ² _-f_k²+

Минимум отклонения C_k_к от f достигается при C_k= f_k, т.к. первое слагаемое обращается в 0, а остальные от C_k не зависят.

Следствие 1. f, n, {_к}- ортонормированной системы и набора C_k

- f_k² ||C_k _к-f ||²

Следствие 2. ||f_k _к - f||² - f_k² – тождество Бесселя

Замечание. По Т17.1 частичная сумма ряда Фурье реализует наилучшее среднеквадратичное приближение к элементу f евклидова пространства среди всевозможных линейных комбинаций первых n элементов ортонормированной системы {_к}.

2. Неравенство Бесселя

Т17.2 Для f – элемента данного бесконечномерного евклидова пространства и

{_к}- ортонормированной системы справедливо:

- неравенство Бесселя

Д Вспомним тождество Бесселя ||f_k _к - f ||² - f_k²

левая часть в нем неотрицательна n f_k²

Т.о. Частичные суммы ряда f_k² из неотрицательных членов ограничены сверху. Такой ряд сходится. Неравенство выполняется для n при n оно так же верно .

Понятие полноты ортогональной системы.

Определение. Ортогональная система функций {_к} называется полной в евклидовом пространстве , если для произвольного элемента f этого пространства его ряд Фурье по ортогональной системе

f_k _к

сходится в среднем к этому элементу, т.е.

.

В этом случае {_к} образует базис в пространстве.

Вспомнив тождество Бесселя

||f_k _к - f ||² - f_k²

и устремим . Для полной системы {_к} правая часть этого тождества обращается в 0. Т.о. для полных систем справедливо

- равенство Парсеваля.

Определение. Ортогональная система функций {_к} называется замкнутой в евклидовом пространстве , если единственный элемент этого пространства, ортогональный всем функциям {_к}, это нулевой элемент.

Теорема. Всякая полная система является замкнутой.

Доказательство.

Пусть  элемент f_n  n. Рассмотрим его ряд Фурье.

Все коэффициенты Фурье элемента f будут равны в силу ортогональности этого элемента всем {_к}. Тогда в силу равенства Парсеваля . Но единственный элемент, имеющий норму равную 0, - это по свойствам нормы нулевой элемент.

Тригонометрический ряд Фурье.

О Тригонометрический ряд Фурье – ряд Фурье по тригонометрической системе

ортонормированной на .

Для кусочно-непрерывной на функции f(x) тригонометрический ряд Фурье имеет вид

, где

Неравенство Бесселя в этом случае имеет вид:

В теории тригонометрических рядов Фурье обычно применяется несколько другая форма записи коэффициентов тригонометрического ряда Фурье

, где

Для этой формы записи неравенство Бесселя .

Замечание. Из неравенства Бесселя вытекает, что для кусочно-непрерывной на f(x), ее тригонометрические коэффициенты Фурье стремятся к 0 с ростом их номеров.

( в силу необходимого условия сходимости ряда в неравенстве Бесселя).