Лекции / семестр4 / Лекции МП-2 (Альшина) / Вопросы к экзамену
.docВопросы к экзамену по спец. разделам математического анализа.
МП - 26, 27, 28, 29 и ИМЭ - 26 (весна 2003).
-
Классификация изолированных особых точек.
-
Поведение функции вблизи устранимой особой точки.
-
Поведение функции вблизи полюса порядка m.
-
Поведение функции вблизи существенно особой точки.
-
Понятие вычета в конечной и бесконечно удаленной точках.
-
Вычет в устранимой точке и существенно особой точке.
-
Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
-
Вычисление полюса в полюсе порядка m.
-
Основная теорема теории вычетов.
-
Вторая теорема о вычетах.
-
Несобственные интегралы от быстро убывающих функций. Лемма 1.
-
Вычисление несобственных интегралов от быстро убывающих функций.
-
Доказать лемму Жордана.
-
Сформулировать лемму Жордана для 4-х разных полуплоскостей.
-
Вычисление несобственных интегралов при помощи Леммы Жордана.
-
Лемма «о половине вычета». Вычислить интеграл
. -
Сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Мажорантный признак Вейерштрасса.
-
Дифференцирование по параметру под знаком несобственного интеграла.
-
Эйлеровы интегралы и их свойства (без доказательства).
-
Ортонормированные системы. Ряды Фурье.
-
Задача о наилучшем среднеквадратичном приближении. Неравенство Бесселя.
-
Понятие полноты и замкнутости. Равенство Парсеваля.
-
Ортогональность тригонометрической системы. Тригонометрический ряд Фурье.
-
Лемма Римана-Лебега.
-
Ядро Дирихле и его свойства.
-
Теорема о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
-
Признак равномерной сходимости ряда Фурье.
-
Скорость убывания коэффициентов Фурье.
-
Ряды Фурье с периодом 2l и непериодических функций.
-
Комплексная форма ряда Фурье.
-
Преобразование Фурье. Условия существования.
-
Стремление к нулю преобразования Фурье на бесконечности.
-
Разложение функции в интеграл Фурье. Теорема о сходимости интеграла Фурье.
-
Косинус- и синус- преобразования Фурье.
-
Спектральный анализ периодического сигнала.
-
Спектральный анализ непериодического сигнала.
-
Классификация уравнений математической физики. Типы граничных условий.
-
Решение начально-краевой задачи однородного уравнения колебаний с однородными граничными и неоднородными начальными условиями.
-
Решение начально-краевой задачи не однородного уравнения колебаний с однородными граничными и начальными условиями.
-
Решение начально-краевой задачи однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными и неоднородными начальными условиями.
-
Решение начально-краевой задачи неоднородного уравнения теплопроводности с однородными граничными и начальными условиями.
-
Преобразование Лапласа. Понятие оригинала.
-
Свойства изображений Лапласа. Доказательство линейности.
-
Свойства изображений Лапласа. Доказательство свойства подобия.
-
Свойства изображений Лапласа. Теорема запаздывания.
-
Свойства изображений Лапласа. Теорема смещения.
-
Свойства изображений Лапласа. Изображение производной.
-
Свойства изображений Лапласа. Изображение интеграла.
-
Свойства изображений Лапласа. Изображение свертки.
-
Свойства изображений Лапласа. Интеграл Дюамеля.
-
Свойства изображений Лапласа. Дифференцирование изображения.
-
Свойства изображений Лапласа. Интегрирование изображения.
-
Теорема Меллина.
-
Первая теорема разложения.
-
Вторая теорема разложения.
-
Решения задачи Коши для линейного ОДУ с постоянными коэффициентами. Однородное уравнение с неоднородными начальными условиями.
-
Решения задачи Коши для линейного ОДУ с постоянными коэффициентами. Неоднородное уравнение с однородными начальными условиями.