Лекции / семестр4 / Лекции МП-2 (Альшина) / Pr5

Эйлеровы интегралы.

Определение. Гамма-функция и бета-функция называются Эйлеровыми интегралами и играют важную роль в различных разделах математики и матфизики.

Мы остановимся на свойствах первой из этих функций, выраженной несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.

Свойства гамма-функции:

1. сходится при. Для того, что бы убедиться в этом разобьем его на два . Второй интеграл сходится по признаку сравнения, т.к. подынтегральная функция убывает быстрее, чем, скажем, . Первый интеграл несобственный второго рода я особой точкой . Опять же по признаку сравнения, учтя что

сходится при .

2. Сходится равномерно по p при . Рассмотрим отдельно опять два интеграла.

1) при сходимость равномерная по признаку Вейерштрасса (мажорирующий интеграл сходится), при равномерной сходимости нет, т.к. остаток интеграла

для  фиксированного и .

2) при сходимость равномерная по признаку Вейерштрасса (мажорирующий интеграл сходится), при равномерной сходимости нет, т.к. остаток интеграла  l>1 каково бы ни было N – натуральное число при выполнено p-1>N

3. Т.к. подынтегральная функция непрерывна, то в области равномерной сходимости несобственного интеграла, т.е. на  конечном промежутке .

4. Производная гамма-функции может быть вычислена под знаком интеграла в силу равномерной сходимости интеграла производной при . Действительно,

Оба интеграла сходятся равномерно по признаку Вейерштрасса.

Аналогично, вычисляются производные гамма-функции любого порядка

5. Интегрируя по частям, получим

.

В частности, для целочисленных аргументов

6. 

Свойства бета-функции:

1. сходится при p>0, q>0.

2. (доказывается при помощи замены переменной x=1-t).

3. 

4. 

5. 

Доказательство.

, аналогично

6. (интеграл берется вычетами).

7. формула дополнения.

Примеры.

1. 

2.