§23. Ряд Лорана.

1. Кольцо сходимости ряда Лорана.

Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степеням), здесь z₀ – фиксированная точка комплексной плоскости.

Второе слагаемое называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана, первое - главной частью ряда Лорана.

Очевидно, областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей сходимости его регулярной и главной части.

Из теоремы Абеля следует, что регулярная часть сходится в круге и является в нем аналитической функцией.  C^(|z-z₀|<R₁).

Сделаем замену 1/(z-z₀)=; главная часть ряда Лорана принимает вид . По теореме Абеля такой ряд сходится при , что соответствует внешности круга .

При R₂<R₁ существует общая область сходимости - круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁. Свойства степенного ряда, следующие из теоремы Абеля :

1. C^(R₂<|z-z₀|<R₁).

2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также аналитичны в том же кольце.

3. R₁ определяется через {c_n}, n=0,1,2...,: R₁=1/L₁, L₁= или L₁= , а R₂ - через {c_-n}, n=1,2...,: R₂=, или R₂=.

4. Коэффициенты ряда Лорана c_n через значения суммы ряда в точке z₀ не определяются! В точке z₀ сумма ряда Лорана не определена!

Пимеры:

1. ,

2. ,

3. ,

2. Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.

Теорема (теорема Лорана) Если f(z)C^(R₂<|z-z₀|<R₁), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= .

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца: (R₂<|z-z₀|<R₁) и построим окружности C₁ :|-z₀|=R'₁ и C₂ : |-z₀|=R'₂ , с центром в точке z₀ и радиусами R'₁ и R'₂ : R₂<R'₂<|z-z₀|<R'₁<R₁.

По формуле Коши для многосвязной области в силу аналитичности f(z), справедливо

f(z)==f₁(z)+f₂(z)

На окружности C₁ :|-z₀|=R'₁ выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(-z) можно представить в виде

Проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной  на C₁

,

где введено обозначение

, n>0.

На окружности C₂:|-z₀|=R'₂ выполняется неравенство. Поэтому, дробь 1/(-z) можно представить в виде

В результате почленного интегрирования этого ряда получим:

,

где введено обозначение

Изменив направление интегрирования, получим:

, n>0

Подынтегральные функции в выражениях для c_n и c_-n являются аналитическими в круговом кольце R₂<|z-z₀|<R_1.. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение

, n=0,1,2,…

где C - произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R₂<|z-z₀|<R₁ и содержащий точку z₀ внутри. Для f(z) окончательно можно записать:

f(z)=.

Т.к. z - произвольная точка внутри кольца R₂<|z-z₀|<R₁  ряд сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце R₂<R'₂|z-z₀|R'₁<R₁ ряд сходится к f(z) равномерно.

Докажем единственность разложения в ряд Лорана. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= , где хотя бы один коэффициент c'_nc_n. Тогда всюду внутри кольца R₂<|z-z₀|<R₁ имеет место равенство: =

Проведем окружность C_R , радиуса R: R ₂<R<R₁ , с центром в точке z₀ . Тогда ряды и сходятся на C_R равномерно.

Умножим оба ряда на (z-z₀)^-m-1 , где m- произвольное целое число и проинтегрируем почленно по окружности C_R.

Рассмотрим .

Т.о. для  m c'_m=c_m.

Примеры. Разложить в ряд Лорана с центром в

1. ,

2. ,