Открытая модель транспортной задачи

Открытая транспортная задача решается сведением ее к закры­той транспортной задаче.

Пример 9. Найти оптимальное распределение поставок для транспорт­ной задачи (табл. 17).

Табл. 17 Табл. 18

	45	35	55	65			45	35	55	65
40	4	1	2	5		40	4	1	2	5
60	3	2	3	7		60	3	2	3	7
90	4	4	5	2		90	4	4	5	2
						10	0	0	0	0

Решение. В данном случае суммарный спрос потребителей больше, чем суммарное предложение поставщиков (45+35+55+ +65 = 200 > 40+60+90 = 190). Введем "фиктивного поставщика" и в таблицу поставок добавим дополнительную строку (табл. 18) так, чтобы задача стала закрытой. Для этого мощность фиктивно­го поставщика следует принять равной 10 = 200—190. Коэффици­енты затрат этой добавленной строки определяются издержками ввиду недогрузки мощностей потребителей. Если информация об этих издержках отсутствует, то их принимают равными одному и тому же числу (например, нулю, как в табл. 18). Согласно тео­реме 3, конкретное значение этого числа не влияет на опти­мальное распределение поставок.

Первоначальное распределение поставок для сформулиро­ванной закрытой транспортной задачи найдем, например, по методу наименьших затрат. Для удобства укажем последова­тельность заполнения таблицы поставок: . В результате приходим к следующему базисному распределению поставок (табл. 19).

Табл.19

4	1 35	2 5	5
3 10	2	3 50	7
4 35	4	5	2 55
0	0	0	0 10

. (15)

-2

-3

-4

-2

0 1 0 2

Установим, оптимально ли это распределение - найдем для него матрицу оценок (15). Так как среди оценок свободных кле­ток есть отрицательные, то найденное распределение не опти­мально. Переведем поставку в одну из клеток с наименьшей от­рицательной оценкой, например в клетку (4,3). Цикл для этой клетки изображен на рис 7. Поставка, передаваемая по циклу, равна х₄₃ = min {50, 35, 10} = 10. Передвигая по циклу поставку, равную 10 единицам, приходим к следующему распределению поставок (табл. 20).

Найдем оценки свободных клеток данного распределения (20). Так как оценки всех свободных клеток неотрицательны, то распределение поставок табл. 20 оптимальное.

Рис. 7

Табл. 20

4	1 35	2 5	5
3 20	2	3 40	7
4 25	4	5	2 65
0	0	0 10	0

. (16)

В случае, когда суммарная мощность поставщиков больше суммарной мощности потребителей, в рассмотрение вводится "фиктивный потребитель", а к таблице поставок присоединяется дополнительный столбец. Коэффициенты затрат этого добавлен­ного столбца соответствуют затратам на хранение неотправленного груза (поставки последнего столбца – неотправленный груз для каждого из поставщиков). Если информация об этих затратах отсутствует, то их принимают равными какому-либо значению (например, нулю).