Нахождение начального базисного распределения поставок.

метод "северо-запад­ного" угла.

Пример 2. Найти начальное допустимое базисное распределение поставок для транспортной задачи 1.

Решение.

• Дадим максимально возможную поставку в клетку (1,1) - "северо-западный" угол таблицы поставок (Дадим переменной максимально возможное значение):

.

Заполнен­ные клетки перечеркиваем сплошной линией (табл. 2)). Клетки, выпавшие из последующего рассмотрения, перечеркнуты пунктирной линией.

• новый "северо­-западный" угол - клетка (1,2) и дадим в нее максимально воз­можную поставку.

1-й поставщик 60-20=40 единиц груза,

х₁₂ = min {40, 110} = 40.

Из рассмотрения выпадает первая строка таблицы поставок (перечеркиваем сплошной лини­ей клетку (1,2) и пунктирной линией оставшиеся свободные клет­ки первой строки).

новый "северо-западный угол" и т. д. В результате получаем следующее исходное распределение поставок (табл.2). Число заполненных клеток в полученном распределении оказалось равным =3+4-1=6, т.е. числу основных (ба­зисных) переменных.

Табл. 2

Недостаток метода "северо-западного" угла: опорный план строится без учета коэффициентов затрат ТЗ.

Метод наименьших затрат.

Пример 3. Найти методом наименьших затрат начальное распреде­ление поставок в задаче 1.

Решение. Клеток две - (1,1) и (2,1) с коэффициентами затрат, равными 1.

Для клетки (1,1) ,

Для клетки (2,1) .

Даем постав­ку, равную 20 едини­цам, в клетку (2,1).

Табл.3

	20	110	40	110
60	1	2	5	3
120	1 20	6	5	2
100	6	3	7	4

В оставшейся таблице наименьшим коэффициентом затрат об­ладают две клетки: с₁₂ = с₂₄= 2.

Для клетки (1,2) x₁₂= min {60, 110} = 60;

Для клетки (2,4) x₂₄ = min {120-20, 110} = 100.

Даем поставку в клетку (2,4), для которой x₂₄ ⁼ 100 (табл 4).

Получаем x₁₂ = min{60, 110} = 60, x₃₂ = min{100, 110-60} = 50, x₃₄ = min {100-50, 110-100} = 10, x₃₃ = min {100-60, 40} = 40 (табл. 5).

Табл.4

	20	110	40	110
60	1	2 60	5	3
120	1 20	6	5	2 100
100	6	3 50	7 40	4 10

Теорема 2. Пусть на каждом шаге заполнения таблицы поста­вок возникает одна заполненная клетка, причем из рассмотрения на каждом (кроме последнего) шаге выпадает либо одна строка, либо один столбец. Тогда переменные, соответствующие заполненным клеткам, можно принять за базисные.

Критерий оптимальности базисного распределения поставок. В задаче ЛП на максимум допустимое базисное решение считается оптимальным, когда все относительные оценки свободных переменных неположительные. Транспортная задача - задача на минимум, поэтому оптимум достигается тогда и только тогда, когда все относительные оценки свободных переменных неотрицательные.

Оценка при свободной переменной называется оценкой свободной клетки .

Тогда критерий опти­мальности формулируется следующим образом: базисное распреде­ление поставок оптимально тогда и только тогда, когда оценки всех свободных клеток неотрицательны.

.

Метод потенциалов

Теорема 3. (о потенциалах). Оценка свободной клетки не изме­нится, если к коэффициентам затрат некоторой строки (столбца) таблицы поставок прибавить некоторое число. Это число, прибав­ляемое к коэффициентам затрат выделенной строки (столбца), будем называть потенциалом данной строки (столбца).

Теорема 3 приводит к правилу 2 нахождения оценок свободных клеток:

к коэф­фициентам затрат таблицы поставок в каждой строке и столбце надо прибавить такие числа (потенциалы), чтобы коэффициенты затрат в заполненных клетках стали равными нулю.

Полученные при этом коэффициенты затрат свободных клеток равны относительным оценкам этих клеток

Пример 4. Найти оценки свободных клеток базисного распределе­ния поставок, найденного в примере 3.

Решение. Найдем оценки свободных клеток, следуя из­ложенной выше последовательности действий. Изменение коэффициентов затрат можно начинать с любого столбца (строки). Потенциал столбца (строки), избранного для нача­ла, может быть произвольным, но можно доказать, что после его фиксации потенциалы остальных столбцов и строк будут определены однозначно.

Начнем с первого столбца. Пусть потенциал этого столбца ра­вен нулю (табл. 11). Рядом с потенциалом в скобках записываем номер шага (поставки опускаем).

Табл. 11

1	2	5	3
1	6	5	2
6	3	7	4

-

. (9)

2(7)

-1(2)

-3(4)

0(1) 0(6) -4(5) -1(3)

После прибавления этого потенциала к коэффициентам затрат первого столбца коэффициент затрат заполненной клетки (2,1) не изменится; чтобы полученный после сложения коэффициент стал равен нулю, потенциал второй строки табл. 11 должен быть ра­вен -1; для обнуления коэффициента затрат клетки (2,4) потен­циал четвертого столбца должен быть равен -1 и т. д.

Изменен­ные коэффициенты затрат удобно выписать в виде отдельной матрицы оценок. Элементы матрицы оценок, соответствую­щие свободным клеткам таблицы поставок, равны оценкам этих свободных клеток.

Из предыдущих рассуждений вытекает, что для фиксированно­го базисного распределения поставок можно подобрать различные наборы потенциалов, удовлетворяющих правилу 2, однако матри­ца оценок во всех таких случаях будет одинаковой.