algebra lecture 1stcourse 1st semester

Далее мы докажем, что rk A = rg A.

ЭП

Утверждение. Если А – (m,n)-матрица, и А→А′, то rk A′≤ rk A .

Доказательство. Пусть rk A= r. Покажем, что в матрице А′ все миноры М′r+1 порядка r+1 равны нулю. Отсюда и будет следовать утверждение.

ЭП−I

Пусть А → А′, и i-я строка матрицы А′ получается сложением i-й строки матрицы А с j-й строкой, умноженной на с Р (j≠ i). Рассмотрим минор М′r+1 порядка r+1 в А′. Если

i-я строка матрицы А′не входит в М′r+1 , то минор М′r+1 равен соответствующему минору Мr+1 матрицы А: М′r+1= Мr+1= 0.

Если в М′r+1 входят и i-я и j-я строки матрицы А′ , то минор М′r+1 получается из соответствующего минора Мr+1 с помо-

щью ЭП-I, то есть М′r+1= Мr+1= 0. Если же i-я строка матри-

цы А′ входит в М′r+1 , а j-я строка матрицы А′ не входит в

М′r+1, то М′r+1= Мr+1± с М0r+1,= 0± с0 = 0, где Мr+1 и М0r+1 –

соответствующие миноры матрицы А.

ЭП−II

Пусть теперь А → А′, и при ЭП-II в матрице А меняются местами i-я и j-я строки. Если i-я и j-я строки матрицы

А′ не входят в М′r+1 , то М′r+1= Мr+1= 0. Если i-я и j-я строки матрицы А′ входят в М′r+1 , то М′r+1= - Мr+1= - 0 = 0. Если же i-я строка матрицы А′ входит в М′r+1, а j-я строка мат-

рицы А′ не входит в М′r+1, то М′r+1=± М0r+1 = 0, где М0r+1 - некоторый минор матрицы А.

ЭП−III

Наконец, пусть А → А′, и при ЭП-III в матрице А i-я строка умножается на с Р, с ≠ 0. Если i-я строка матрицы А′

не входит в М′r+1, то М′r+1= Мr+1= 0. Если же i-я строка матрицы А′ входит в М′r+1, то М′r+1= с Мr+1=с 0 = 0.

71

обратное ЭП - того же типа (см. упражнение 1 из 4.2). Следо-

вательно, rk A′≤ rk A, и rk A ≤ rk A′, то есть rk A′= rk A.

С помощью элементарных преобразований (как в 4.2) приведем матрицу А к ступенчатому виду

Тогда rk A = rk A .

Утверждение. rk A = r = rg A = rg A.

Доказательство. Так как в A существуют лишь r ненулевых строк, то любой минор порядка r+1 содержит нулевую строку и поэтому равен нулю. Кроме того, очевидно, минор r-го порядка, стоящий на пересечении первых r строк и столбцов с номерами k1, k2,…, kr , не равен нулю – он равен

a1,k1 a2,k2 … ar,kr ≠ 0.

Итак, мы доказали, что rk A = rg A. Далее для ранга матрицы мы будем использовать единое обозначение rg A.

Утверждение. rg At = rg A.

Доказательство. Так как определитель не меняется при

транспонировании матрицы, то rk At = rk A, и rg At = rk At = rk A = rg A.

Последнее утверждение означает, что ранги матрицы по строкам и по столбцам совпадают, то есть размерность ли-

72

нейной оболочки строк матрицы и размерность линейной оболочки столбцов матрицы одинаковы.

8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).

Запишем систему линейных уравнений (4.1) в виде

Очевидно, S′ S, и если уравнение F = 0 является следствием системы S, то S S′, и S S′. Более того, S S′ тогда и только тогда, когда уравнение F = 0 является следствием системы S. Это означает, что добавление к системе S или удаление из системы S′ уравнения, которое является следствием системы S, не меняет множества решений системы S. Чтобы сделать систему проще, естественно удалять из системы все уравнения, которые являются следствиями остальных уравнений.

Утверждение. Если F = α1F1+α2F2+…+αmFm , то урав-

нение F = 0 является следствием системы S, и S′ S. Доказательство очевидно: любое решение системы S об-

ращает в 0 все F1 , F2 ,…, Fm , и значит, обращает в 0 выраже-

ние F, так как α10 +α20+…+αm0 = 0.

Посмотрим, когда существуют такие α1, α2, …,αm , что

73

α1F1+α2F2+…+αmFm=F. Если такие α1,α2, …,αm существуют, то, сравнивая коэффициенты при х1 , х2 ,…, хп и правые части

уравнений, получим, что α1, α2, …,αm являются решениями следующей системы из п+1 уравнений:

Наоборот, если α1, α2 , … , αm - решения этой системы, то

α1F1+α2F2+…+αmFm = F. Таким образом, F = α1F1+…+αmFm

существует решение системы Q (по теореме Кронеке- ра-Капелли) равны ранги матриц

Следовательно, если ранги этих матриц равны, то последнее уравнение в системе S′ можно отбросить и перейти от системы S′к системе S.

Предположим теперь, что нам дана СЛУ (4.1), у которой ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы равны r (то есть система совместна). Для простоты будем считать,

74

что отличный от нуля минор Mr порядка r находится в левом верхнем углу матрицы А. Тогда все уравнения, начиная с (r+1)-го и до т-го, являются линейными комбинациями первых r уравнений, и значит, их следствиями. То есть наша СЛУ равносильна системе из первых r уравнений, а уравнения с (r+1)-го и до т-го мы можем отбросить. Оставшиеся r уравнений мы запишем в виде

Так как определитель основной матрицы этой системы равен

r+1,…,n. Раскрывая эти определители, пользуясь линейностью по i-му столбцу, получим: i = i + сi,r+1 хr+1+…+ сi,nхn, i=1,…,r. Подставляя эти формулы в хi= i /Mr , получим выражения главных неизвестных через свободные.

Лекция 17.

8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.

Теорема. Пусть А – (п,п)-матрица. Тогда равносильны следующие условия:

1.det A = 0,

2.rg A < n,

3.однородная СЛУ с основной матрицей А имеет ненулевое решение,

4.столбцы матрицы А линейно зависимы,

5.строки матрицы А линейно зависимы.

75

Доказательство. Из определения ранга rk 1 2. Если det A ≠ 0, то, например, по правилу Крамера существует только нулевое решение однородной СЛУ с основной матрицей A. Наоборот, если det A = 0, rg A = r < n, то у однородной СЛУ существуют n – r свободных неизвестных (см. 4.3), и, значит, существует ненулевое решение. Отсюда 1 3. Далее, существование ненулевого решения для однородной СЛУ равносильно линейной зависимости вектор-столбцов матрицы А (см. 7.5), то есть 3 4. Так как det A = det AТ, то

1 5.

8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

Теперь определим произведение (m,n)-матрицы A на (n,k)- матрицу В. Пусть А1, А2,…, Ат – строки матрицы А, и В1, В2,…,Вk – столбцы матрицы В. Тогда по определению А В= С, где С - (m,k)-матрица, у которой все элементы сij = Аi Вj.

Упражнения.

1. Доказать, что для матриц выполняются свойства

(АВ)С= А(ВС), (А+В)С= АС + ВС, С(А+В)= СА + СВ, АЕ= А,

ЕА = А, где Е – единичная матрица (см.5.3). Причем если определена левая часть равенства, то определена правая часть и наоборот.

2. Доказать, что умножение матриц некоммутативно, то есть привести пример матриц А и В таких, что АВ ≠ ВА.

Определение. Матрица В называется левой обратной для матрицы А, если ВА = Е. Матрица С называется правой обратной для матрицы А, если АС = Е.

76

Утверждение. Если для матрицы А существуют левая обратная матрица В и правая обратная матрица С, то В = С.

Доказательство. Рассмотрим произведение матриц (ВА)С = В(АС). Левая часть равенства равна ЕС = С. Правая часть равенства равна ВЕ = В. Следовательно, В = С.

Далее мы покажем, что левая обратная матрица В и правая обратная матрица С для А существуют det A ≠ 0. В этом случае мы будем называть матрицу В = С обратной матрицей для А и обозначать А-1.

Систему линейных уравнений (4.1) запишем в матричном виде АХ = В, где А – (т,n)-матрица, основная матрица СЛУ;

(т,1)-матрица, столбец правых частей.

Пусть Хч – некоторое частное решение неоднородной системы, то есть АХч = В, а Х0 – произвольное решение соответствующей однородной системы АХ = 0, то есть АХ0 = 0 (здесь 0 в правой части – нулевой столбец). Тогда А(Хч+Х0) =

= АХч+ АХ0 = В + 0 = В, то есть Х1 = Хч + Х0 – также решение неоднородной системы. Наоборот, пусть Х1 – некоторое ре-

шение неоднородной системы, то есть АХ1 = В. Тогда

А(Х1 - Хч)= АХ1 - АХч= В – В = 0, то есть Х0 = Х1 - Хч - реше-

ние однородной системы, и опять Х1 = Хч + Х0. Таким образом, все решения неоднородной СЛУ получаются из некоторого частного решения Хч прибавлением всевозможных решений соответствующей однородной СЛУ. Если rg A = r, то множество решений однородной СЛУ АХ= 0 является линейным пространством размерности n – r, а базисом в этом пространстве является фундаментальная система решений f1, f2 ,…, fn-r (см.7.6). Любое решение Х0 однородной СЛУ является линейной комбинацией фундаментальной системы

77

решений: Х0 = α1 f1 +…+ αn-rfn-r , α1,…,αn-r P. Выражение с1f1+…+ сn-r fn-r с произвольными постоянными с1,…,сn-r на-

зывается общим решением однородной СЛУ. Любое решение однородной СЛУ получается из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных с1,…,сn-r конкретных

элементов поля α1,…,αn-r. Выражение Хч+ с1 f1 +…+ сn-r fn-r, где с1,…,сn-r - произвольные постоянные, Хч – некоторое ча-

стное решение неоднородной системы АХ = В, а f1 ,…, fn-r - фундаментальная системы решений соответствующей одно-

родной СЛУ, является общим решением неоднородной СЛУ.

И опять - любое решение неоднородной СЛУ получается из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных с1 ,…, сn-r конкретных элементов α1,…,αn-r P.

Замечания.

1. Запишем СЛУ (4.1) в виде матричного уравнения АХ = В. Пусть А – (п,п)-матрица и А-1 существует. Если Х –

решение уравнения, то, умножая левую и правую часть равенства АХ= В на матрицу А-1 слева, получим, что Х= А-1В. Это означает, что решение нашего матричного уравнения единственно. Непосредственной подстановкой в уравнение проверяется, что А-1В является решением уравнения. Это означает существование решения.

2. В 7.6 при решении однородной СЛУ мы находили ФСР, придавая набору (п – r) свободных неизвестных значе-

ния (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1).

Минор, составленный из этих строк, размером (п –r)×(п – r) – это минор единичной матрицы, и он отличен от нуля. Таким образом мы находили (п – r) линейно независимых (базисных) решений в пространстве решений однородной СЛУ. Как и в любом пространстве, в пространстве решений однородной системы базисов существует много. В частности, базисом будет любое множество из (п – r) линейно независимых решений, то есть таких решений, матрица из координат которых имеет ранг (п – r). Это значит (см. 8.1), что матрица из координат должна иметь ненулевой минор порядка (п – r). Получать (все) решения с такой матрицей можно следующим

78

образом: нужно придавать (п – r) свободным неизвестным (п – r) наборов значений произвольным образом с единственным условием – чтобы полученный (п –r)×(п – r)-минор был отличен от нуля, и затем, естественно, однозначно находить значения главных неизвестных.

Упражнение. Доказать, что таким образом мы получим все фундаментальные системы решений.

Лекция 18.

9. МАТРИЦЫ

9.1. Операции над матрицами, их свойства.

Рассмотрим Мт,п(Р) - множество (т,п)-матриц с элементами из поля Р. Определим на Мт,п(Р) структуру линейного пространства.

I. Для А, В Мт,п(Р), А= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, В= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n ,

пусть А + В = С Мт,п(Р), С = (сi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, где

сi,j= аi,j+ bi,j. Так определяется операция сложения матриц. Теперь определим операцию умножения матрицы на элемент

поля. Для А Мт,п(Р), А= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, α Р пусть

αА = (αаi,j)i=1,…,m; j=1,…,n .

II. Упражнение. Проверить, что для определенных нами операций выполняются 8 свойств линейного пространства.

Замечание. Выполнение восьми свойств линейного пространства можно не проверять, если записывать элементы матрицы в одну строчку длины тп (как в ЭВМ). Можно себе представить, что такие длинные строчки на листе бумаги не помещаются и их приходится разбивать на куски длины п и записывать в таблицу (матрицу). Но операции для матриц (длинных строчек) определены нами так же, как и ранее для строк из Рп в 7.1. Отсюда и следует выполнение восьми свойств для этих операций. Следовательно, можно считать доказанным, что множество (т,п)-матриц является линейным пространством размерности тп, и это пространство изоморфно Ртп. Как и в 7.2 (см. Теорему 5) естественным бази-

79

сом в Ртп будет семейство матриц Ei,j , i=1,…,m; j=1,…,n, где Ei,j - матрица, у которой (i,j)-й элемент равен 1, а все остальные элементы равны 0.

Теперь рассмотрим Мп(Р) – множество квадратных (п,п)- матриц. Как мы только что видели, Мп(Р) – линейное пространство размерности п2. Покажем, что Мп(Р) является также АУ-кольцом.

I. Операции сложения и умножения матриц у нас уже определены.

II. Первые 4 свойства из определения кольца (для операции сложения) такие же, как и для линейного пространства, и выполняются в общем случае для прямоугольных (а не только квадратных) матриц. Свойства 5, 6, 9 из определения кольца также выполняются (см. упражнение 1 из 8.4).

Упражнение. Доказать, что А, В Мп(Р), α Р выполняется свойство (αА)В = А(αВ) = α(АВ).

Определение. Множество А называется алгеброй над полем Р, если А является кольцом и линейным пространством над Р, и, кроме того, выполняется свойство (αа)b = a(αb) = = α(ab) a, b A, α Р .

Подводя итог в 9.1, можно сказать, что нами доказана Теорема. Множество квадратных матриц Мп(Р) является

алгеброй над полем Р.

9.2. Элементарные матрицы.

В соответствии с определением элементарных преобразований I-го, II-го и III-го типа над строками или столбцами матрицы определим элементарные матрицы I-го, II-го и IIIго типа.

Определение. Элементарной матрицей I-го типа назы-

вается (п,п)-матрица Рi,j(с) = Е + сEi,j , i ≠ j.

Элементарной матрицей II-го типа называется (п,п)-матрица

Рi,j= E1,1+E2,2+…+ Ei-1,i-1+ Ei,j+ Ei+1,i+1+…+Ej-1,j-1+Ej,i+Ej+1,j+1+

+…+ En,n = E - Ei,i - Ej,j + Ei,j + Ej,i , при i ≠ j.

Элементарной матрицей III-го типа называется диагональ-

ная (п,п)-матрица Рi (c) = diag(1,1,…,c,…,1) =

80