algebra lecture 1stcourse 1st semester

7. Для отображения F из A в B образом подмножества A1 A называется подмножество F(A1)= {F(a)| a A1} B, а прооб-

разом подмножества B1B B называется подмножество

F -1(B1)= { a A | F(a) B1 } A .

8. Отображение F из A в B называется инъекцией, если из a1 ≠ a2 Fa1 ≠ Fa2.

9.Отображение F из A в B называется сюръекцией, если

b B a A такой, что Fa = b.

10.Отображение F из A в B называется биекцией или взаим-

нооднозначным отображением, если F – инъекция и сюръ-

екция одновременно.

11.Биекция конечного (а иногда и бесконечного) множества называется подстановкой.

12.Бинарным отношением на множестве Х называется под-

множество R X×X. Тот факт, что элементы x, y X находятся в отношении R, мы будем записывать в виде (x, y) R или в виде xRy.

Упражнения.

4.Проверить, что (S1 S2) -1 = S2-1 S1-1 S1 A×B, S2 B×C.

5.Доказать, что если отображения F1 из A в B и F2 из B в C являются инъекциями, то F2 F1 – инъекция.

6.Доказать, что если отображения F1 из A в B и F2 из B в C являются сюръекциями, то F2 F1 – сюръекция.

7.Доказать, что если отображения F1 из A в B и F2 из B в C являются биекциями, то F2 F1 – биекция.

8.Доказать, что для отображения F из A в B соответствие F -1

будет отображением из B в A F – биекция. В этом случае F -1 - также биекция, и F F -1 = A , F -1 F = B .

9. Доказать, что для отображения F из A в B

уравнение Fx= b имеет ≤ 1 решения b F – инъекция, уравнение Fx= b имеет ≥1 решения b F – сюръекция,

11

уравнение Fx=b имеет ровно одно решение b F – биекция.

10.Доказать, что отображение F из A в B является инъекцией

F F -1 = A.

11.Доказать, что отображение F из A в B является сюръекци-

ей F -1 F = B.B

Пусть S(X) – множество биекций множества Х. Тогда

пу подстановок S(X) в этом случае мы будем обозначать Sn. Подстановку σ множества Х можно записывать в виде табли-

каким-то образом переставленные элементы множества Х. Такая таблица означает, что σ(х1)= xi1 , σ(х2)= xi2 , σ(х3)= xi3 … Так как σ - инъекция, то все элементы нижней строки различные. Так как σ - сюръекция, то в нижней строке присутствуют все элементы множества Х. То есть, нижняя строка – это перестановка множества Х. Таким образом, различных подстановок существует ровно столько, сколько имеется различных перестановок множества Х, то есть n!, и, значит, группа Sn подстановок множества из п элементов состоит из n! элементов.

Упражнение. Доказать, что для конечного множества Х из инъективности σ следует её сюръективность, а из сюръективности - инъективность.

12

Чаще всего мы будем считать, что Х = {1, 2, 3, …, n }. В этом случае подстановки мы будем записывать в виде

{σ kx | k N} – конечное подмножество в Х, то есть k≠ m такие, что σ k x = σ m x. Тогда, если k> m, то, очевидно,

σ k-m x = x. Пусть s – наименьшее натуральное число такое, что σ sx = x. Тогда подмножество {x, σ x, σ 2x, σ 3x,…,σ s-1x} будем называть циклом, порожденным элементом х, и обозначать O(х). Очевидно, все элементы в O(х) – различны, то есть O(х) состоит из s элементов. Будем считать, что по определению σ 0 = id, σ0x= х.

Упражнения.

1.Проверить, что, σ s+1x =σ x, σ s+2x =σ 2x, σ -1x = σ s-1x, …, σ(О(x))=О(х), σ k(О(х)) = О(x), О(σx) =О(х), О(σ kх) = О(x), О(х) = {σ kx| k =0,1, 2,…, s-1 } = {σ kx| k Z }.

2.Проверить, что циклы разных элементов либо не пересекаются, либо совпадают.

Таким образом, множество Х разбивается в объединение непересекающихся циклов.

Пусть х = a1, σ x = a2 , σ 2x = a3 , σ 3x = a4 ,…, σ s-1x = as , и

соответственно цикл О(х) ={a1, a2 ,.., as}. Тогда σ(О(x))= О(х), и σ на О(x) является биекцией, которую можно записать в

одной строкой: (a1, a2, a3,…, as ). Запись σ в виде такой стро-

ки означает, что σ a1= a2, σ a2= a3 ,…,σ as-1= as , σ as= a1 . За-

13

писывая подстановку на каждом цикле в виде одной строки, получим циклическую запись подстановки. Так, например, подстановка

вид σ =(1, 4, 2, 5)(3)(6, 8, 7).

Определение. Транспозицией будем называть подста-

новку tij такую, что tij (i)= j , tij (j) = i , tij (k) = k при k ≠ i, k≠j.

Очевидно, tij-1 = tij , tij2 = tij .

Утверждение. Любую подстановку σ Sn , п ≥ 2, можно разложить в композицию транспозиций.

Доказательство по индукции.

1.При п =2 утверждение очевидно, так как S2 состоит из двух элементов: id и tij .

2.Пусть для п – 1 утверждение верно. Рассмотрим σ Sn .

Пусть σ(п) = q, и σ1 = tqn σ. Тогда σ1 (n) = n, и σ1 – биекция множества {1, 2, 3, …, n -1 } из (п-1)-го элемента. По

предположению индукции можно считать, что для σ1 утвер-

Очевидно, разложение подстановки в композицию транспозиций неоднозначно.

На практике очень легко раскладывать подстановку в произведение транспозиций, если она задана в циклической записи. Так, например, легко проверить, что

(1, 3, 7, 2, 4)(5, 6)(8) = t13 t37 t72 t24 t56 .

Будем говорить, что в последовательности чисел i1, i2 ,..,in два числа ik и il образуют инверсию, если ik > il, но ik распо-

ется четной, если количество инверсий в её нижней строке четно, и σ называется нечетной, если количество инверсий в

14

её нижней строке нечетно.

Утверждение. Если количество инверсий в нижней строке подстановки σ равно m, то σ можно разложить в произведение m транспозиций.

Доказательство. Пусть два соседних элемента ik и ik+1 в нижней строке подстановки σ образуют инверсию. Тогда

цедуру далее, получим, что существуют транспозиции τ1 ,τ2 , …,τm такие, что подстановка τm τm-1 … τ1 σ не имеет инверсий в нижней строке, то есть τm τm-1 … τ1 σ = id. Умножая последнее равенство слева на τm , затем на τm-1 и так далее до τ1 , и учитывая, что все τi2= id, получим, что

σ = τ1 τ2 … τm .

Лекция 4.

3.3. Отношение эквивалентности. Определения.

1. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если xRx x Х.

2.Отношение R на множестве Х называется симметричным, если для x, у Х из xRy следует yRx.

3.Отношение R на множестве Х называется транзитив-

ным, если для x, у, z Х из xRy и yRz следует xRz.

4. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Упражнения.

1.Доказать, что отношение R на множестве Х рефлексивно

R X .

2.Доказать, что отношение R – симметрично R-1 – симметрично R = R-1.

15

3.Доказать, что отношение R – транзитивно R2 R (здесь

R2= R R) .

4.Доказать, что пустое отношение – симметрично и транзитивно.

5.Найти множества, для которых пустое отношение – рефлексивно.

6.Доказать, что на множестве Х наибольшее отношение

R= X×X рефлексивно, симметрично и транзитивно, и, следовательно, является отношением эквивалентности.

7.Доказать, что пересечение рефлексивных отношений – рефлексивно, пересечение симметричных отношений – симметрично, пересечение транзитивных отношений – транзитивно, пересечение отношений эквивалентности - отношение эквивалентности.

8.Доказать, что объединение рефлексивных отношений – рефлексивно, объединение симметричных отношений – симметрично. Привести пример транзитивных отношений, объединение которых не транзитивно.

9.Привести пример симметричных отношений, композиция которых не симметрична. Привести пример транзитивных отношений, композиция которых не транзитивна.

Определение. Для отношения эквивалентности π на множестве Х определим класс элемента х Х как

clπ x = { y Х| yπ x }. Когда ясно, какое отношение эквивалентности имеется ввиду, будем обозначать класс элемента х

также cl x или x .

Утверждения. Пусть π - отношение эквивалентности. Тогда

1) х Х х clπ x.

2)Если х clπ y, то y clπ x.

3)Если y clπ x, то clπ y clπ x.

4)Если yπ x, то clπ y = clπ x.

Доказательство 1) следует из определения рефлексивности, 2) – из определения симметричности, 3) – из определения транзитивности, 4) – из утверждений 2), 3).

16

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности π, то множество Х разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов, то

есть X = clπ x , где x, y X либо clπ х ∩ clπ y = , либо

x X

clπ х = clπ y. Наоборот, любое разбиение множества Х в объединение непересекающихся подмножеств получается из некоторого отношения эквивалентности, которое определено однозначно, то есть если Х = U Хi , где Хi ∩ Хj = при i ≠ j, то ! отношение эквивалентности π такое, что i Хi = clπ хi ,

где хi Хi .

Доказательство.

. 1. Очевидно, х Х х clπ x X = clπ x .

x X

2. Если clπ х ∩ clπ y ≠ , то есть clπ х ∩ clπ y z, то из утвер-

ждения 4) clπ х = clπ z = clπ y.

. Пусть Х = U Хi , где Хi ∩ Хj = при i ≠ j. Если существует отношения эквивалентности π, которое порождает дан-

ное разбиение, то есть i Хi = clπ хi ,то все элементы из каждого подмножества Хi должны находиться в отношении π, а элементы, не лежащие в одном подмножестве, не должны находиться в отношении π . То есть хπу i такое, что

х, у Хi . Это означает единственность π.

Докажем существование. Как мы только что увидели, если π , то хπу i такое, что х, у Хi . Очевидно, так определенное отношение π рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. х Х clπ х – это множество элементов, находящихся с х в отношении π, то есть подмножество Хi, содержащее элемент х. Это означает существование π.

Определение. Множество классов эквивалентных элементов по отношению π называется фактор-множеством и обозначается Х/π. Другими словами, элементами множества

17

Х/π являются классы эквивалентных элементов множества Х. Часто отношение эквивалентности обозначается знаком .

Упражнения.

1. Пусть π1 и π2 - отношения эквивалентности на Х. Найти классы эквивалентных элементов для отношения эквива-

лентности π1 ∩ π2 .

2. Найти классы эквивалентных элементов для наименьшего отношения эквивалентности Х и для наибольшего отношения эквивалентности Х×Х.

Лекция 5.

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Определения.

Пусть P – некоторое поле.

Системой m линейных уравнений с п неизвестными на-

зывается система уравнений вида:

где все aij , bi P.

Для простоты такую систему мы будем записывать таблицей вида:

Такая таблица A называется расширенной матрицей системы линейных уравнений. Матрица

18

называется основной матрицей системы. Сокращенно систему линейных уравнений будем называть СЛУ. Очевидно, по расширенной матрице СЛУ восстанавливается однозначно.

Решением системы линейных уравнений называется такой набор (с1,…,сn) элементов из P, что при подстановке в систему х1 = с1, … , хп = сn получаются верные равенства:

a11 с1 + … + a1n сn = b1, a21 с1 + … + a2n сn = b2, …

Если у системы имеются решения, то она называется совместной. Если у системы нет решений, то она называется несовместной. Если у системы имеется единственное решение (с1,…,сn), то она называется определенной. Если у системы имеется более одного решения, то она называется неоп-

ределенной.

Определим для строчек с элементами из поля Р операции так: (a1,…, an)+ (b1,…,bn) = (a1 + b1, …, an + bn) – сложение

строчек, и с (a1,…,an)= (сa1,…,сan) – умножение строчки на элемент с Р.

Такие операции мы будем проделывать со строчками расширенной матрицы СЛУ. Очевидно, сумме строчек расширенной матрицы соответствует сумма соответствующих уравнений системы, а умножению строчки на элемент с Р соответствует умножение соответствующего уравнения на с.

Будем говорить, что система S′ является следствием системы S, если любое решение системы S является решением системы S′. Обозначать этот факт будем так: S S′. Будем говорить, что системы S и S′ равносильны, если S S′ и S′ S. Записывать это будем так: S S′. Другими словами, S S′ тогда и только тогда, когда множества решений систем S и S′ совпадают.

19

Утверждение. Отношение равносильности на множестве систем линейных уравнений с п неизвестными является отношением эквивалентности.

Доказательство очевидно.

Следовательно, множество систем линейных уравнений разбивается на классы эквивалентных. Для решения произвольной СЛУ было бы удобно найти в классе эквивалентных ей систем наиболее простую систему и найти все решения этой наиболее простой системы. Это множество решений будет совпадать с множеством решений первоначальной СЛУ. Далее мы и будем искать наиболее простые системы среди систем, эквивалентных данной.

4.2. Элементарные преобразования.

Будем делать над системами линейных уравнений эле-

ментарные преобразования трёх типов.

Будем говорить, что СЛУ S′ получается из системы S

ЭП−I

элементарным преобразованием I-го типа (S → S′), если i-е уравнение системы S′ получается прибавлением к i-му уравнению системы S j-го уравнения системы S, умноженного на коэффициент с Р (j≠ i). А все остальные уравнения системы S′ совпадают с соответствующими уравнениями системы S. Элементарному преобразованию I-го типа системы линейных уравнений соответствует ЭП-I соответствующей расширенной матрицы, у которой при ЭП-I к i-й строке прибавляется j-я строка с коэффициентом с. Таким образом, все строки расширенной матрицы для СЛУ S′, кроме i-й, совпадают с соответствующими строками расширенной матрицы для СЛУ S, а i-я строка имеет вид

(ai1+caj1, ai2+caj2,…, ain+cajn,| bi+cbj).

При элементарном преобразовании II-го типа в системе S меняются местами i-е и j-е уравнения, а в соответствующей расширенной матрице меняются местами i-я и j-я строки.

При элементарном преобразовании III-го типа в системе S i-е уравнение умножается на коэффициент с Р, с ≠ 0, а в со-

20