algebra lecture 1stcourse 1st semester

Упражнение. Проверить свойства 1, 4, 5, 8, 9 из определения поля.

Построенное нами поле K называется полем отношений или полем частных для кольца А. Элементы поля K называются дробями.

Рассмотрим отображение ϕ: А → K такое, что а A

ϕ(а)= a1 . Очевидно, ϕ(а1)= ϕ(а2) a11 = a12 (а1,1)π(а2,1)

а1= а2, то есть ϕ является инъекцией. Будем считать, что А инъективно вкладывается в K при помощи ϕ, то есть будем

=а b-1 – привычное понимание дроби.

Замечания.

1.Если АКУ-кольцо А = Z, то в качестве поля K мы получим поле рациональных чисел Q.

2.Если A = Р – поле, то K = P.

3.Если Р – поле и АКУ-кольцо А = P[x], то в качестве поля K мы получим поле, которое называется полем рациональных функций и которое мы будем обозначать P(x). Эле-

101

вается простейшей дробью, если р(х) – простой многочлен и

ст.f(х) < ст.р(х).

шие.

Теорема. Всякую рациональную функцию w(х) Р(х)

подобрать f1(x) так, чтобы числитель f(x) – f1(x)h(x) делился на р1(х). В самом деле, так как h(x) и p1(x) – взаимно простые, то по утверждению 1 из 10.4 существуют многочлены u(x) и v(x) такие, что h(x)u(x) + p1(x)v(x)= 1. После умножения этого равенства на f слева и справа получим f = fuh + p1vf. В качестве f1 можно было бы взять fu, но мы не знаем, будет ли ст.fи < ст.р1. В случае, когда ст.fи ≥ ст.р1, разделим fu на р1 с остатком: fи = qр1+ r1, ст.r1< ст.р1 . Тогда

f = fuh+ p1vf = (qр1+r1)h + p1vf = r1h+ p1(qh+ vf)= r1h+ p1 f , и

можно взять f1 = r1. Теперь f(x) – f1(x)h(x) делится на р1(х), и

102

Лекция 24.

12. ПРЯМЫЕ СУММЫ ПОДПРОСТРАНСТВ

Определение. Пусть L1, L2 – подпространства в L. Тогда по определению сумма подпространств

L1 + L2 = {x + y | x L1, y L2}.

Аналогично, L1 +…+ Lт = {x1 +…+ хт | x1 L1,…,хт Lт}.

Упражнения.

1.Доказать, что L1 + L2 - подпространство.

2.Доказать, что L1 + L2 - 3)наименьшее 1)подпространство, 2)содержащее L1 и L2 .

3.Доказать, что (L1 + L2)+ L3 = L1 +( L2+ L3 ).

Определение. Сумма L1 + L2 подпространств L1 и L2

называется прямой и обозначается L1 L2 (или L1 L2), если

х L1 + L2 представление х = х1 + х2 , х1 L1, х2 L2 , однозначно.

Аналогично, L1+…+ Lт = L1 … Lт – прямая сумма т подпространств, если х L1 +…+ Lт представление

х = х1 +…+ хт , хi Li, однозначно.

Теорема 1. L1 + L2 = L1 L2 L1 ∩L2 = {0}.

Доказательство.

. Пусть L1 ∩L2 х, х ≠ 0 х = х + 0, х L1, 0 L2 ,

х = 0 + х, 0 L1, х L2 . Следовательно, для х представление неоднозначно, то есть сумма подпространств – не прямая.

Упражнение. Доказать, что L1 +…+Lk = L1 … Lk

(L1 +…+Li ) ∩Li+1 = {0} i =1,2,…,k-1.

104

Теорема 2. Пусть {e1 ,…,ek} – базис подпространства L1, {ek+1 ,…,em} – базис подпространства L2 . Тогда

L1 + L2 = L1 L2 {e1 ,…,ek} {ek+1 ,…,em} – базис подпро-

странства L1 + L2.

Доказательство.

. Пусть L1 + L2 = L1 L2. Тогда х L1 + L2 представление х = х1 + х2 , х1 L1, х2 L2 , однозначно. И однозначным является выражение векторов х1 , х2 через базисы подпро-

странств: х1 = α1е1+…+αkеk , х2 = αk+1еk+1+…+αmеm . Следо-

вательно, и выражение х = α1е1+…+αkеk+αk+1еk+1+…+αmеm однозначно {e1 ,…,ek ,ek+1 ,…,em} – базис подпространства

L1 + L2.

. Если {e1 ,…,ek ,ek+1 ,…,em} – базис подпространства L1 + L2,

то х L1+ L2 выражение х = α1е1+…+αkеk+αk+1еk+1+…+αmеm

однозначно. Тогда и для х1 = α1е1+…+αkеk L1,

х2 = αk+1еk+1+…+αmеm L2 представление х = х1 + х2 – однозначно, то есть L1 + L2 = L1 L2.

Следствие. dim(L1 L2) = dim L1 + dim L2.

Упражнение. Доказать, что L1+…+Lk = L1 … Lk объединение базисов всех подпространств Li является базисом подпространства L1 +…+Lk .

Теорема 3. dim(L1 + L2) + dim(L1 ∩L2)= dimL1 + dim L2 .

Доказательство. Пусть {e1 ,…,ed} – базис в L1 ∩L2 . До-

полним его до базиса {e1 ,…,ed , f1 ,…, fk } подпространства L1 и до базиса {e1 ,…,ed ,g1 ,…,gm} подпространства L2. Покажем, что {e1 ,…,ed , f1 ,…, fk , g1 ,…,gm} – базис подпространства

L1+ L2 . В самом деле, х L1 + L2, х = х1 + х2 , х1 L1, х2 L2, х1 <е1,…,еd , f1,…, fk >, х2 <е1,…,еd , g1,…, gm >

х1 + х2 <е1,…,еd , f1,…, fk , g1,…, gm >. Покажем, что система векторов {е1,…,еd , f1,…, fk , g1,…, gm } линейно независима.

Пусть α1е1+…+αdеd +β1f1+…+βkfk +γ1g1+…+γmgm = 0. Тогда α1е1+…+αdеd +β1f1+…+βkfk = -(γ1g1+…+γmgm ) L1 ∩L2 β1=…=βk = 0 α1е1+…+αdеd +γ1g1+…+γmgm = 0

105

α1=…=αd=γ1=…=γm=0, так как {e1 ,…,ed ,g1 ,…,gm} – базис подпространства L2. Следовательно, векторы

{е1,…,еd , f1,…, fk , g1,…, gm } линейно независимы, и dim(L1 + L2)= d + k + m = dimL1 + dim L2 - dim(L1 ∩L2).

13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

13.1. Линейное отображение и его матрица.

Пусть L, L′- линейные пространства над полем P. Определение. Отображение ϕ: L → L′ называется линей-

ным отображением, если

1. a, b L ϕ(a+b) = ϕ a + ϕ b,

2. a L α P ϕ(α a) = α ϕ a.

Очевидно, условия 1-2 эквивалентны условию 3:

3. a, b L α, β P ϕ(α a+β b) = α ϕ a + β ϕ b.

В самом деле, 3 следует из 1 и 2: ϕ(α a+β b)=ϕ(α a)+ϕ(β b) = =α ϕa + β ϕ b, 1 следует из 3 при β = 0, 2 следует из 3 при

α = β = 1.

Определение. Если линейное отображение ϕ является биекцией, то ϕ - изоморфизм линейных пространств L и L′.

Примеры.

1.pr: E3→ E2 - ортогональная проекция пространства E3

сортонормированным базисом i, j, k на подпространство

E2 = < i, j > параллельно подпространству < k > (оси Oz ). 2. ϕ: E3→ E3, x E3 ϕ x = [a, x] – векторное произве-

дение вектора х на фиксированный вектор a E3.

3. ϕ = dxd : Pn[x] → Pn-1[x] – отображение дифференци-

рования.

4.ϕ: Pn[x] → P, где f Pn[x] по определению

ϕ(f) = f(16).

5.ϕ: Pп[x] → Pп+1[x], где f P[x] по определению

106

ϕ(f) = х f.

Замечание. Очевидно, можно считать, что в примере 1 pr – отображение из E3 в E3, а в примере 3 ϕ: Pn[x] → Pn[x].

Упражнение. Доказать линейность отображений из примеров 1-5.

Простейшие свойства линейных отображений.

1.ϕ(0L)= 0L′, но в общем случае ϕ -1(0L′)≠ 0L , хотя ϕ -1(0L′) 0L – см. примеры 1- 4.

2.ϕ(-a) = - ϕ a a L.

k k

3.ϕ( ∑αi ai )= ∑αiϕai .

i=1 i=1

Действительно, ϕ(0L) = ϕ(0 0L) = 0 ϕ(0L) = 0,

ϕ(-a)= ϕ((-1) a)= (-1) ϕ a = - ϕ a, а свойство 3 доказывается индукцией по k.

Упражнение. Найти ϕ -1(0L′) в примерах 1-5.

Матрица линейного отображения.

Пусть Ln, Lm - линейные пространства над полем P,

ϕ: Ln → Lm - линейное отображение, e={e1,…,en} - произвольный базис в Ln.

Лемма 1. Линейное отображение ϕ: Ln → Lm полностью и однозначно определяется образами базисных векторов

ϕ e1 ,…,ϕ en .

Пусть ϕ: Ln → Lm - линейное отображение, e={e1,…,en} – базис в Ln, e′={e′1,…,e′m} – базис в Lm. Выразим векторы ϕ ej

m

через базис e′. Пусть ϕ ej = ∑aij ei′ , j=1,…,n. Матрицу

i=1

107

(aij) i=1,...,m, размером m×n будем называть матрицей линейного

j=1,...,n

или [ϕ], если ясно, какие базисы имеются ввиду. Очевидно,

координат вектора ϕ ej в базисе e′. Единственность матрицы линейного отображения ϕ при фиксированных базисах e и e′ следует из леммы 1 и единственности координат вектора в данном базисе.

Упражнение. Найти матрицы линейных отображений в примерах 1-5.

столбец координат вектора x в базисе e. Если допустить умножение векторов на элементы поля справа, положив по определению а α = α а α Р, а L (проверить корректность!), то можно написать в матричном виде следующие равенства:

(ϕe1,…,ϕen) = (e′1,…,e′m) [ϕ] или ϕе=е′[ϕ].

Лемма 2. Пусть e={e1,…,en} – базис в Ln, {a1,…,an} – произвольная система векторов в Lm. Тогда ! линейное отобра-

жение ϕ: Ln → Lm такое, что ϕ ei= ai, i=1,…,n.

Доказательство.

1. Единственность. Пусть искомое ϕ существует. Тогда для

единственность.

n

2. Существование. Пусть для произвольного x = ∑xjej по

j=1

108

того, ϕ еi=ϕ(0·е1+…+1·еi+…+0·еn)=0·a1+…+1·ai+…+0·an= ai.

Замечание. Линейное отображение ϕ называется продолжением по линейности отображения базисных векторов

ϕ′: {e1,…,en} → Lm такого, что ϕ′ ei= ai, i=1,…,n.

Следствия. 1. т×п-матрицы А ! линейное отображение ϕ : Ln → Lm такое, что [ϕ] = А – для этого надо выбрать

e,e′

векторы a1,…,an, координаты которых в базисе е′, записанные по столбцам, образуют матрицу А, и применить лемму 2.

2. При фиксированных базисах е в Ln и е′ в Lm соответствие ϕ ↔ [ϕ] является биекцией между множеством линей-

e,e′

ных отображений из Ln в Lm и множеством т×п-матриц. Пусть x Ln , y = ϕ x Lm. Найдем связь координат векто-

n

ров x в базисе e и y = ϕ x в базисе e′. Если x = ∑xjej ,

j=1

109

В матричном виде, следуя (13.1), можно получить эту формулу так: ϕх = ϕ(е[x]) = ϕ(е) [x] = e′[ϕ] [x] = y =e′[y] [y] = [ϕx] = [ϕ] [x].

Важный частный случай линейных отображений.

Пусть ϕ: Ln → Ln , e – базис в Ln , то есть Ln = Lm , n = m, e = e′. Тогда ϕ называется линейным оператором (л.о.) или эндоморфизмом в пространстве Ln. Матрицу Aϕ (соответст-

называть матрицей линейного оператора в базисе e. Очевидно, матрица л.о. - квадратная n×n-матрица, j-й столбец кото-

Ещё один важный частный случай линейных отображений.

Пусть m=1, то есть Lm= L1 = P, ϕ: Ln → P, e – базис в Ln, e′={1} – базис в L1 = P. Тогда ϕ называется линейной функ-

цией или линейным функционалом на пространстве Ln, а мат-

рицей ϕ является 1× n-матрица-строка.

Лекция 25.

13.2. Матрица композиции линейных отображений.

Пусть Ln, Lm, Ls - линейные пространства над полем P с

базисами e, e′, e′′ соответственно, ϕ: Ln → Lm - линейное отображение с m× n-матрицей [ϕ] и ψ: Lm → Ls - линейное

e,e′

отображение с s× m-матрицей [ψ ].

e′,e′′

110