Так как 2 3= 0 , то 2 и 3 в Z6 являются делителями нуля. В то же время 5 5=1, то есть 5 - обратимый элемент в Z6 .

Утверждение. Элемент a Zm обратим НОД(a,m)= 1.

Доказательство.

. Пусть b Zm такой, что a b =1 (ab)π 1 ab = 1 + kmab - km = 1, и если d|a, d|m, то d|1.

. Пусть НОД(a,m) = 1. Тогда c , d Zm , c ≠ d , также

a c ≠ a d . В самом деле, если a c = a d , то ac= ad

(ac)π(ad) m|(ac - ad) m|a(c - d). Но НОД(a,m) = 1

m|(c - d) cπ d c = d - противоречие. Таким образом, все элементы из a Zm различны a Zm = Zm b Zm

такой, что a b =1.

Следствие. Zm – поле m – простое число.

51

Доказательство. . Если m = p – простое число, то

a {1,2, …, p - 1} НОД(a,p)= 1 a - обратим, Zm – поле.

. Пусть Zm – поле, и m – непростое число, m = kl, где k > 1,

l > 1. Тогда НОД(k, m) ≠ 1, и для элемента k Zm , k ≠ 0 , обратный элемент в Zm не существует - противоречие. Значит, m – простое.

6.5. Поля.

Примеры числовых полей хорошо известны – это

<Q,+, , -( ), 0 , 1 >, <R,+, , -( ), 0 , 1 >, <C,+, , -( ), 0 , 1 >.

Также мы доказали, что простого числа p Z полем яв-

ляется < Zp ,+, , -( ), 0 , 1>.

Определение. Если P = <P, +, , -( ), 0K , 1K > - поле,

Определение. Если Р1, Р2 – поля, то отображение

ϕ: Р1→ Р2 называется изоморфизмом полей, если ϕ - биек-

ция, и x,y Р1 ϕ(x+y) = ϕ x +ϕ y, ϕ(x y) = ϕ x ϕ y. Если для полей Р1 и Р2 такой изоморфизм существует, то говорят,

что поля Р1 и Р2 изоморфны и пишут Р1 ≈ Р2.

Упражнения.

1.Доказать, что id: Р1→ Р1 является изоморфизмом, то есть

Р1 ≈ Р1.

2.Доказать, что если ϕ:Р1→Р2 – изоморфизм, то ϕ -1:Р1→Р2 – изоморфизм, то есть если Р1 ≈ Р2, то Р2 ≈ Р1.

3.Доказать, что если ϕ:Р1→ Р2 , ψ:Р2→ Р3 – изоморфизмы,

52

то ψ ◦ϕ:Р1→ Р3 – изоморфизм, то есть если Р1 ≈ Р2 и Р2 ≈ Р3 , то Р1 ≈ Р3.

Любое поле P содержит элементы 0Р, 1Р, 1Р + 1Р = 2(1Р), 1Р + 1Р +1Р =3(1Р),…, m(1Р) m N. Возможны два случая:

1)все элементы вида m(1Р), m N, различны.

2)среди этих элементов одинаковые, то есть в N m ≠ n : m(1Р)= n(1Р) (такой случай имеет место всегда для конечного

поля Р). Пусть m > n. Тогда (m – n)(1Р)= 0Р , то есть существует такое t N, что t(1Р)= 0Р .

Определение. Характеристикой поля Р называется наименьшее натуральное число t такое, что t(1Р)= 0Р . Если такого числа не существует (как в случае 1), то говорят, что характеристика поля равна 0 или ∞ . Характеристика поля обозначается через char P.

Очевидно, char Q = char R = char C = 0, char Zp = p.

Теорема. Если р = char P ≠ 0, то р – простое число. Доказательство. Пусть р – не простое, p = kl, где k, l ≠ 1.

53

Тогда 0Р = p(1Р)= (kl)(1Р) = k(1Р) l(1Р), и k(1Р) ≠ 0Р, l(1Р) ≠ 0Р.

Но в поле нет делителей нуля (см. 6.3), то есть мы получили противоречие. Значит, р – простое число.

Определение. Поле Р называется простым, если у него нет подполей, отличных от Р.

Теорема. Поле Q – простое.

Доказательство. Пусть Q Р – подполе. Тогда Р 0, 1, 1+1=2, 2+1=3,…, n ( n N), - n ( n N), ± 1n ( n N), 1n m ( n N, m Z), то есть Р Q Р = Q. Других подполей в Q нет.

Теорема. Поле Zp – простое.

Доказательство. Пусть Zp Р – подполе. Тогда Р 0 ,1,

1+1= 2 , 2 +1= 3, … , p −1, то есть Р Zp Р = Zp . Других подполей в Zp нет.

Теорема. Пусть Р – поле, и char P = 0. Тогда

1)P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0 ,

2)подполе Р0 – простое,

3)Р0 ≈ Q.

Доказательство. Очевидно, пересечение всех подполей в Р является, во-первых, подполем, во-вторых, оно является наименьшим подполем (так как содержится в любом другом) и, в-третьих, оно является простым подполем, так как не содержит собственных (меньших) подполей. Отсюда следуют 1-е и 2-е утверждения теоремы.

Но мы докажем теорему иначе. Пусть поле P содержит подполе Р1. Тогда Р1 0Р, 1Р, 1Р+1Р=2(1Р), 2(1Р)+1Р =3(1Р),…,

54

здесь используется правило знаков из 6.2. Выполнение остальных свойств из определения поля в Р0 следует из выполнения их в поле Р.

Подполе Р0 - наименьшее, так как любое другое подполе Р1 содержит Р0. Отсюда следует, что Р0 - простое подполе, так как оно не содержит собственных (меньших) подполей.

Докажем, что поле Р0 изоморфно полю Q. Определим отображение ϕ: Q → Р0 так: пусть mn Q по определе-

нию ϕ( m )= m(1P ) Р0 . Тогда ϕ - инъекция. В самом деле, n n(1P )

= m′(1Р) n (1Р) (mn′)(1Р) =(m′n)(1Р) (mn′- m′n)(1Р))=0Р

55

mn′ - m′n = 0 (так как char P = 0) mn = mn′′ . Сюръектив-

ность ϕ очевидна. Таким образом, ϕ - биекция. Сохранение операций при ϕ следует из (*) и (**). Следовательно, ϕ - изоморфизм.

Теорема. Пусть Р – поле, и char P = р. Тогда

1)P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0 ,

2)подполе Р0 – простое,

3)Р0 ≈ Zp.

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы 3.

Упражнение. Доказать эту теорему.

Лекция 13.

7.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

7.1.Определения, примеры.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Множество L называется линейным (или

векторным) пространством над полем Р, если

I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть a, b L определен результат операции

a+b L, и a L, αP определен результат операции αa L, и II. для этих операций выполнены 8 свойств:

56

0L называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.

3. a L элемент a′ L такой, что a′+ a = a + a′= 0L . a′ называется элементом, противоположным к a и обозначается -a.

4. a + b = b + a a, b L,

5. α (a+b) = α a + α b a, b L α P,

6.(α+β) a = α a+β a, a L α, β P,

7.(αβ) a = α(β a) a L α, β P,

8. 1P a = a a L.

Элементы линейного пространства называются вектора-

ми.

Если рассматривать линейное пространство как универсальную алгебру с множеством операций Ω, то

Ω = {+,-(.), 0L ,α|αP }.

Определение. Подмножество L1 L называется подпространством линейного пространства L, если L1 само является линейным пространством относительно тех же операций Ω.

Упражнения.

1. Доказать, что L1 - подпространство в L тогда и только тогда, когда в L1 выполняются свойства I и II.2 из определения линейного пространства, то есть a, b L1 a + b L1;

a L1, αP αa L1 ; 0L L1.

2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0L} и L являются (тривиальными) подпространствами.

Примеры линейных пространств.

1.Поле Р является линейным пространством над Р.

2.Поле является линейным пространством над любым своим подполем.

3.Множество непрерывных функций C[a,b] на отрезке [a,b] со значениями в поле R является линейным пространством над полем R.

57

4.Множество функций F(M) на множестве М со значениями в поле Р является линейным пространством над Р.

5.Множество многочленов Р[x] от х с коэффициентами в поле Р является линейным пространством над Р.

Упражнения.

1.Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.

2.Доказать, что в линейном пространстве L α 0L=0L α P,

0P a = 0L , (-1)a = - a a L.

Утверждение. Множество L = Рn ={(α1,…,αn)| все αi P}

является линейным пространством над полем Р.

Доказательство. I. Пусть по определению для элементов

из Рn (α1,…,αn)+ (β1,…,βn)= (α1+β1,…,αn+βn),

α (α1,…,αn)= (α α1,…, α αn).

II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что

((α1,…,αn)+(β1,…,βn))+(γ1,…,γn)=((α1+β1)+γ1,…,(αn+βn)+ +γn)= (α1+(β1+γ1),…,αn+(βn+γn)) =(α1,…,αn)+((β1,…,βn) + +(γ1,…,γn)).

2.Очевидно, (α1,…,αn)+(0,…,0)= (0,…,0) + (α1,…,αn) =

=(α1,…,αn) (α1,…,αn) Рn. То есть (0,…,0)= 0Pn - в Рn

существует нейтрал по сложению.

3.Очевидно, (α1,…,αn)+ (-α1,…,-αn)= (0,…,0), то есть в Рn

(α1,…,αn) существует противоположный элемент. Упражнение. Доказать свойства 4 – 8 из определения ли-

нейного пространства.

Определения.

1.Пусть элементы a1,…,ak L, α1,…,αk Р. Выражение α1 a1+…+αk ak называется линейной комбинацией элементов a1,…,ak.

2.Говорят, что элементы a1,…,ak L линейно зависимы, если

существуют α1,…,αk Р, не все равные нулю, такие, что α1 a1+…+αk ak = 0L. Соответственно, элементы a1,…,ak L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства α1 a1+…+αk ak = 0L следует, что все αi = 0.

58

3.Говорят, что размерность линейного пространства L равна п , если в L существуют п линейно независимых векторов, а любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L.

4.Говорят, что размерность линейного пространства L бес-

конечна, если в L п существуют п линейно независимых векторов.

5. Если dim L = п, то любые п линейно независимых векторов в L будем называть базисом линейного пространства L.

Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.

7.2. Теоремы о базисах.

Теорема 1. Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L. Тогда любой вектор а L однозначно выражается через

базис в виде а = β1 е1+…+βп еп для некоторых β1,…,βп Р.

Доказательство. Пусть а L. Так как dim L = п, то п+1

векторов а,е1,…,еп линейно зависимы, то есть α,α1,…,αп Р,

не все равные нулю, такие, что α а +α1 е1+…+αп еп=0L , причем α ≠ 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы. То-

гда а=α -1α1 е1+…+α -1αп еп=β1 е1+…+βп еп, где β1=α -1α1,…,

βп =α-1αп .

Докажем однозначность. Пусть а = β1 е1+…+βп еп =

=γ1 е1+…+γп еп (β1 -γ1 )е1+…+(βп -γп)еп= 0L β1 - γ1 =0,…,

βп -γп= 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы β1 = γ1 ,…, βп = γп – это и означает однозначность.

Теорема 2 (обратная). Пусть е1,…,еп – такая система векторов в L, что любой вектор а L однозначно выражается через е1,…,еп в виде а = β1 е1+…+βп еп для некоторых β1,…,βп Р. Тогда е1,…,еп – базис линейного пространства L.

Доказательство. 1. е1,…,еп – линейно независимая система векторов в L, так как если α1 е1 +…+αп еп = 0L =

= 0 е1 +…+ 0 еп , то из однозначности α1= 0,…,αп = 0. Следовательно, в L существуют п линейно независимых векторов.

59

2. Покажем, что в L любые п+1 векторов линейно зависимы.

Пусть а1,…,ап+1 L. Тогда а1 = β11 е1+…+β1п еп ,…,

ап+1 =βп+1,1 е1+…+βп+1,п еп . Покажем, что существуют х1,…,хп+1 Р, не все равные нулю, такие, что

х1а1+…+хп+1ап+1 = 0. Но х1а1+…+хп+1ап+1 =

= (β11 х1+…+βп+1,1хп+1)е1+…+(β1п х1+…+βп+1,пхп+1)еп , и одно-

родная система п уравнений с п+1 неизвестным

Таким образом, dim L = n, и е1,…,еп – базис в L.

Теорема 3. Если е1,…,еп – базис линейного пространства L, то е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то есть при добавлении к этой системе любого вектора получится линейно зависимая система векторов.

Доказательство. Так как е1,…,еп – базис, то dim L = n, и

из определения размерности следует, что любые п+1 векторов линейно зависимы.

Теорема 4 (обратная). Если е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то е1,…,еп – базис линейного пространства L.

Доказательство. Пусть а L. Так как п +1 векторов

а, е1,…,еп линейно зависимы, то, как и в Теореме 1, вектор а линейно выражается через е1,…,еп . Из линейной независимости векторов е1,…,еп , как и в Теореме 1, следует, что выражение а через е1,…,еп однозначно. Теперь по Теореме 2 мы получаем, что е1,…,еп – базис линейного пространства L.

Теорема 5. dim P n = n.

Доказательство. Пусть е1 =(1,0,0,…,0), е2 =(0,1,0,…,0),…,

60