algebra lecture 1stcourse 1st semester

делить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни λi характеристического уравнения, то dim Ker([F ] - λ iE)> 1, и найденную фундамен-

u

тальную систему решений для СЛУ ([F ] - λ iE)[x] = [0] не-

u

обходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту.

25.2. Приведение пары форм.

Рассмотрим линейное пространство Lп над полем R с базисом е. Пусть F, G – квадратичные формы, причем G > 0, а f, g – соответствующие симметричные билинейные формы. Так как g – симметричная билинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x,y)= (x,y)g , а Lп с этим скалярным произведением - евклидово пространство: Lп = Еп. По доказанному в п.25.1, в евклидовом пространстве Еп существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор

v =(y1,y2,…,yn), то G(v)= y12+ y22 +…+yn2 (так как базис орто-

нормированный в смысле g), и F(v) = λ1y12 +λ2y22 +…+λnyn2. Соответственно, если в этом базисе вектор w = (z1, z2,…,zn ),

то g(v,w)=y1z1+ y2z2+…+ynzn , f(v,w)=λ1y1z1+λ2y2z2+…+λnynzn.

Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой пары квадратичных форм F и G, G > 0, в линейном пространстве Lп над полем R существует базис и, в котором форма F имеет канонический вид, а G имеет нормальный вид, то есть [F ] – диагональная матрица,

u

рехода к новому базису такая, что Тt [F ]Т = diag(λ1,λ2,…,λn),

e

Тt [G]Т =Е.

e

171

Так как коэффициенты λ1,…,λn формы F – это собственные значения линейного оператора ϕ с матрицей [ϕ] = [F ],

u u

то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы [ϕ] = [F ], то есть уравнение

характеристическим многочленом пары форм F, G, G > 0, а уравнение χF ,G (λ) =0 называется характеристическим урав-

нением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффи-

([F ]- λi [G])[x] = [0] – это уже СЛУ с известными матри-

ствуют g-ортогональные друг другу собственные векторы, и,

если dim Ker([F ]- λ iE) = dim Ker([F ]- λ i [G]) = 1, то найден-

u e e

ный вектор x необходимо лишь нормировать (по g), то есть разделить его на длину G(x) . Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни λi характери-

172

стического уравнения, то dim Ker( [F ] - λ iE)> 1, и найденную

u

фундаментальную систему решений для СЛУ

([F ]- λi [G])[x] = [0] необходимо ортонормировать в смысле

g, например, по Граму-Шмидту.

Лекция 37.

26.ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

26.1.Определение и основные свойства эрмитовых

форм.

Определение. Функция f(х,у) на линейном пространстве L над полем C называется эрмитовой, если она обладает свойствами:

1.f(х+у, z) = f(х, z)+ f(у, z), x, y, z L,

2.f(α х, у) = α f(х, y), x, y L, α C,

3. f(x,y) = f(y, x) x, y L.

Следствия.

1.f(х, у + z) = f(х, у)+ f(х, z), x, y, z L,

2.f(х, α у) = α f(х, y), x,y L, α C,

αs, βt C, us, vt L.

Замечания.

1.Функции, для которых выполнены условия 1, 2 из определения и 1, 2 из следствия называются полуторалинейными (они линейны по первому аргументу и полулинейны по второму). Таким образом, любая эрмитова функция - полуторалинейная.

2.Теория эрмитовых функций аналогична теории симметричных билинейных функций, поэтому многие утверждения

173

будут лишь сформулированы, а их доказательства читателю предлагается провести в качестве упражнений.

Примером эрмитовой функции служит скалярное произведение на унитарном пространстве.

Пусть f - полуторалинейная функция на n-мерном про-

этой формулы видно, что значение полуторалинейной функции f(x, y) при произвольных x, y L полностью и однознач-

является линейной формой по х и полулинейной по у, то есть полуторалинейной формой. Полуторалинейные формы, соответствующие эрмитовым функциям, будем называть эрмитовыми формами. Необходимым и достаточным условием эрмитовости полуторалинейной формы f явлется условие

fts = f(et,es)= f (es , еt ) = fst s,t, то есть [ f ]t=[ f ] в любом (в

e e

некотором) базисе е – это условие эрмитовости её матрицы [ f ] в любом (в некотором) базисе е.

e

Определение. Пусть f - полуторалинейная функция на линейном пространстве L над С. Функция F: L → С, задан-

174

ная формулой F(x) = f(x, x) x L, называется квадратичной функцией, определяемой полуторалинейной функцией f. Если f – эрмитова, то и F называется эрмитовой.

форма второй степени от действительных и мнимых частей координат х.

Матрицей квадратичной формы F будем называть матри-

цу соответствующей полуторалинейной формы f: [ F ] = [ f ].

e e

И тогда F(x) = [x]t [F ] [x] .

e e e

Упражнение. Проверить, что полуторалинейная форма f однозначно восстанавливается из определенной ею квадратичной формы F по формуле

f(x, y)= 14 (F(x+y) - F(x - y) + iF(x+iy) - iF(x - iy)). (26.1)

175

Определение. Пусть f - полуторалинейная форма на L. Рангом формы f называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе: rg f = rg[ f ] . Аналогично, rg F = rg[F ] = rg f.

f(x,y)= f ( y, x), поэтому x L F(x)=f(x,x)= f (x, x) = F (x),

так что F(x) R x L .

Наоборот, пусть теперь x L F(x) = f(x, x) R. Покажем, что тогда x, y L f(x, y)= f ( y, x), то есть f – эрмитова. Используем формулу (26.1): x, y L

F(x - iy)= F(y + ix) R.

Подставив последние четыре формулы в (26.1), получим: f(x, y)= 14 (F(y+ x) - F(y – x) + i F(y – ix) - i F(y + ix))= f ( y, x) .

Следовательно, f - эрмитова форма.

26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.

Пусть f(x, y) – эрмитова форма на линейном пространстве L над полем С, F(x) – соответствующая квадратичная форма.

Теорема. В L существует f-ортогональный базис. Доказательство аналогично доказательству из п.24.6.

176

где все λk R, f(x, y) = ∑λk xk yk , F(x) = ∑λk | xk |2 , и такой вид эрмитовых форм f и F называется каноническим. Следовательно, любая эрмитова полуторалинейная форма и любая эрмитова квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную эрмитову полуторалинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

Пусть f(еk, еk) = λk ≠ 0 при k =1,…,r и f(еk, еk)= 0 при k = r+1,…,п. Тогда r = rg f = rgF, и r от базиса не зависит.

Будем считать теперь, что форма F имеет канонический

получим F(x)= |z1|2+…+|zs|2–|zs+1|2-…-|zs+t|2 - такой вид квадратичной формы называется нормальным.

Таким образом, имеет место

Теорема. В линейном пространстве L над полем С для любой эрмитовой формы F существует базис, в котором фор-

ма имеет нормальный вид F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2. Соответствующая эрмитова полуторалинейная форма f имеет

нормальный вид f(z, w) = z1w1+…+zsws – zs+1ws+1-…- zs+tws+t.

Как и в п.24.6 для эрмитовых форм F можно дать опре-

деления положительно определённой или положительной формы (F > 0), отрицательно определённой или отрицательной формы (F < 0), неотрицательно определённой формы (F ≥ 0), неположительно определённой формы (F ≤ 0),

неопределённой формы. Во всех этих случаях условия на s и t будут такие же, как и в п.24.6.

По аналогии с п.24.7 для эрмитовых форм формулируется и доказывается закон инерции, определяется положитель-

177

ный индекс инерции формы I+(F)= s и отрицательный индекс инерции формы I -(F) = t.

Так же эрмитовы квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I+ = s, I - = t, которые независимы и составляют полную систему инвариантов.

Аналогично как и в п.24.8 формулируется и доказывается критерий Сильвестра. Необходимо лишь заметить, что угловые подматрицы эрмитовой матрицы являются эрмитовыми, а определители эрмитовых матриц Мk R.

Лекция 38.

27. ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.

Теория эрмитовых форм в унитарном пространстве аналогична теории квадратичных форм в евклидовом пространстве (см. п.25).

Пусть Нп унитарное пространство с ортонормированным базисом и, F(x) – эрмитова квадратичная форма с матрицей [F ] в базисе и и f(x,у) – соответствующая эрмитова полуто-

u

ралинейная форма с матрицей [ f ] = [F ]. Рассмотрим линей-

эрмитова, то ϕ - эрмитов оператор, ϕ* = ϕ . По теореме о структуре эрмитова оператора в Нп существует ортонормированный базис и′, в котором матрица оператора ϕ диаго-

нальна: [ϕ] = diag(λ1,λ2,…,λn), причем все λi R. Пусть

u′

Т = T . Тогда Т – унитарная матрица (так как по столбцам

u→u′

матрицы Т стоят координаты векторов из ортонормирован-

178

нормированный базис. Следовательно, если в базисе u′ век-

тор у имеет координаты (y1,…,yn), то форма F имеет кано-

нический вид F(у)=λ1|y1|2+λ2|y2|2+…+λn|yn|2, причем все λi R.

Соответственно, если в этом базисе вектор z = (z1,…,zn), то f(y, z) = λ1y1 z1 + λ2y2 z2 + …+ λnyn zn . Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой эрмитовой квадратичной формы F(x) в унитарном пространстве Нп существует ортонормированный базис u′, в котором форма F имеет канонический вид F(у) = λ1|y1|2+ λ2|y2|2+…+ λn|yn|2, причем все λi R. Это означает, что существует унитарная матрица Т1 перехода к новому базису u′, в котором матрица формы F диагональна:

Следствие 1. Эрмитовы формы F и f унитарно эквивалентны формам, имеющим канонический вид (см. п.24.5).

Следствие 2. Две эрмитовы квадратичные формы канонического вида унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты λ1,λ2,…,λn отличаются, может быть, лишь порядком.

Следствие 3. Две эрмитовы квадратичные формы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

Так как коэффициенты λ1,…,λn формы F – это собственные значения линейного оператора ϕ , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы [ϕ] = [F ],

179

и′ = {и′1,…, и′n} – это собственные векторы линейного оператора ϕ, и найти все и′i можно, решая однородные системы линейных уравнений ([F ] - λ iE)[x]= [0]. Различным собст-

u

венным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker([F ] - λ iE) = 1, то най-

u

денный вектор необходимо лишь нормировать, то есть разделить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни λi характеристического уравнения, то dim Ker([F ] - λ iE)> 1, и найденную фундамен-

u

тальную систему решений для СЛУ ([F ] - λ iE)[x] = [0] не-

u

обходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту.

27.2. Приведение пары форм.

Рассмотрим линейное пространство Lп над полем С с базисом е. Пусть F, G – эрмитовы квадратичные формы, причем G > 0, а f, g – соответствующие эрмитовы полуторалинейные формы. Так как g – эрмитова полуторалинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g

– скалярное произведение, g(x, y)= (x, y)g , а Lп с этим скалярным произведением - унитарное пространство: Lп = Нп. По доказанному в п.27.1, в унитарном пространстве Нп существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический

вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор у =(y1,y2,…,yn), то G(у)= |y1|2+|y2|2 +…+|yn|2 (так как базис ортонормированный в смысле g), и

F(у)= λ1|y1|2+λ2|y2|2+…+ λn|yn|2. Соответственно, если в этом базисе вектор z =(z1,z2,…,zn ), то g(у,z) = y1 z1 + y2 z2 +…+yn zn ,

f(y, z) = λ1y1 z1 + λ2y2 z2 +…+λnyn zn .

Таким образом, нами доказана

180