algebra lecture 1stcourse 1st semester

еn =(0,0,0,…,1). Тогда (α1,α2,…,αn) Рn (α1,α2,…,αn)= (α1,0,…,0)+ (0,α2,…,0)+ …+(0,0,…,αn)=

=α1(1,0,…,0)+ α2(0,1,…,0)+ …+αn(0,0,…,1)= α1 е1 +…+αп еп

и это представление однозначно. Значит, по Теореме 2

е1,…,еп – базис в P n, и dim P n = n.

Лекция 14.

Теорема 6. Любую линейно независимую систему векторов в пространстве L можно дополнить до базиса L.

Доказательство. Пусть а1,…,аk – линейно независимая система векторов в L. Если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk – базис линейного пространства L по Теореме 4. Если это не максимальная линейно независимая система векторов, то существует некоторый вектор аk+1 такой, что а1,…,аk ,аk+1 - линейно независимая система векторов в L. Опять, если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk+1 – базис линейного пространства L, а если не максимальная, то добавляем вектор аk+2 и т.д. пока не получим максимальную линейно независимую систему векторов, то есть базис.

Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L и х L.

Тогда х = х1 е1 +…+хп еп , и набор (х1,…,хп) называется координатами вектора х в базисе е1,…,еп .

Упражнение. Доказать, что если (х1,…,хп) координаты вектора х, а (у1,…,уп) координаты вектора у в базисе е1,…,еп , то координатами вектора х+у будет набор (х1+у1,…,хп+уп), а координатами вектора α х, α Р, будет набор (α х1,…,α хп).

7.3. Изоморфизм линейных пространств.

Определение. Отображение ϕ : L1 → L2 линейных пространств над полем Р называется изоморфизмом линейных пространств, если

61

1)ϕ - биекция,

2)ϕ - линейное отображение линейных пространств, то

есть ϕ(х+у)= ϕ х +ϕ у, ϕ(α х) =α ϕ х х,у L1, α Р.

Тот факт, что линейные пространства L1 и L2 изоморфны,

обозначают L1 ≈ L2 .

Упражнение. Доказать, что если ϕ :L1→ L2 - изоморфизм линейных пространств, то ϕ(0L 1 )= 0L 2 , ϕ(- a)=- ϕ(a) a L1.

Утверждение. Если L1 ≈ L2 , то L2 ≈ L1 (это симметричность изоморфизма).

Доказательство. Пусть отображение ϕ :L1→ L2 - изоморфизм линейных пространств. Так как ϕ - биекция, то существует отображение ϕ -1, и ϕ -1– биекция. Покажем, что ϕ -1- ли-

нейное отображение. Пусть ϕ -1х = а, ϕ -1у = b. Тогда ϕ а = х,

ϕ b = у ϕ(а + b)= х + у ϕ -1(х + у)= а + b =ϕ -1х+ϕ -1у,

ϕ(α а) = α х ϕ -1(α х)= α а = α ϕ -1х.

Упражнения.

1.Доказать, что L1 ≈ L1 (это рефлексивность изоморфизма).

2.Доказать, что если L1 ≈ L2 и L2 ≈ L3 , то L1 ≈ L3 (это транзитивность изоморфизма).

Таким образом, отношение изоморфности между линейными пространствами рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, все линейные пространства разбиваются на непересекающиеся классы изоморфных.

Утверждение. Если L1 ≈ L2 , то dim L1 = dim L2.

Доказательство. Пусть ϕ : L1 → L2 - изоморфизм линейных пространств, и е1,…,еп – базис линейного пространства

L1. Покажем, что ϕе1,…,ϕеп – базис линейного пространства

L2. В самом деле, если у L2 , то ϕ -1у L1 ,

ϕ -1у=α1 е1 +…+αп еп у = α1ϕе1 +…+αпϕеп . Кроме того,

ϕе1,…,ϕеп – линейно независимы, так как если

α1ϕе1 +…+αпϕеп = 0, то ϕ(α1е1 +…+αпеп) = 0 = ϕ (0)

α1е1 +…+αпеп = 0 (из инъективности ϕ) α1 =…=αп = 0. Таким образом, любой вектор из L2 представляется в ви-

де линейной комбинации векторов ϕе1,…,ϕеп , и из их линей-

62

ной независимости следует, что это представление однозначно (см. Теорему 1). Из Теоремы 2 следует, что ϕе1,…,ϕеп – базис в L2 .

Теорема. Если dim L = n, то L ≈ P n.

Доказательство. Пусть dim L = n, и е1,…,еп – базис в L .

Рассмотрим ϕ : L → P n такое, что х = х1е1 +…+хпеп L ϕ х= (х1 ,…,хп) P n. Из однозначности представления х в ви-

де х = х1е1 +…+хпеп следует, что ϕ определено корректно. Биективность ϕ очевидна. Линейность ϕ требовалось доказать в упражнении в 7.2.

Следствие. Все пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство P n. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.

7.4. Подпространства.

Пусть L - п-мерное линейное пространство над полем Р

(так как L ≈ P n, то, не теряя общности, можно было бы считать, что L = P n).

Утверждение. Пересечение любого семейства подпространств в L является подпространством.

Доказательство. Пусть Li ,i I, - подпространства в L, где I – некоторое множество индексов, L′ = ∩Li . Докажем, что

i I

L′- подпространство в L.

I. Пусть х, у L′ х, у Li i I х+ у, α х Li i I,

α P х+ у, α х ∩Li = L′.

i I

63

II.2. Так как 0L Li i I 0L ∩Li = L′.

i I

Утверждение. Пусть L1, L2 – подпространства, и L1 L2 .

Тогда dimL1≤ dimL2 , и если dimL1= dimL2 , то L1= L2 .

Доказательство. Пусть L1 L2. Тогда базис подпространства L1 является линейно независимой системой векторов в L2 , и её можно дополнить до базиса L2 . И значит, число векторов в базисе L2 не меньше, чем число векторов в базисе L1, то есть dimL1≤ dimL2. Если же dimL1= dimL2 , то любой базис подпространства L1 является базисом подпространства L2 , и любой вектор из L2 , являясь линейной комбинацией базисных векторов, содержится в L1. Следовательно, L2 L1

L2= L1.

Рассмотрим способы задания подпространств в L.

Определение. Пусть векторы а1,…,аm L. Линейной обо-

лочкой системы векторов {а1,…,аm} называется 3)наименьшее 1)подпространство в L , 2)содержащее векторы а1,…,аm. Эту линейную оболочку мы будем обозначать <а1,…,аm>.

В нашем определении для линейной оболочки требуется выполнение трех условий: 1) <а1,…,аm> - подпространство,

2)это подпространство должно содержать векторы а1,…,аm,

3)среди всех таких подпространств линейная оболочка – наименьшее (по включению) подпространство, то есть содержится в любом другом подпространстве, для которого выполняются условия 1), 2).

Покажем, что линейная оболочка системы векторов существует.

Утверждение. Линейная оболочка системы векторов

{а1,…,аm} равна пересечению всех подпространств из L, содержащих эти векторы.

Доказательство. Очевидно, множество таких подпро-

странств не пусто, так как содержит тривиальное подпространство L. Далее, 1)пересечение всех таких подпространств

64

– подпространство, 2)содержащее векторы {а1,…,аm}. И наконец, 3)это подпространство - наименьшее, так как пересечение подмножеств содержится в любом из пересекающихся подмножеств.

Утверждение. <а1,…,аm>= {α1a1 +…+αmam|α1,…,αm P},

то есть линейная оболочка системы векторов {а1,…,аm} равна множеству всевозможных линейных комбинаций векторов

{а1,…,аm}.

Доказательство. 1)Докажем, что

V = {α1a1 +…+αmam|α1,…,αm P} – подпространство.

I. Пусть х, у V, x = α1a1 +…+αmam , y = β1a1 +…+βmam x+y=(α1+β1)a1+…+(αm+βm)am , αx= (αα1)a1+…+(ααm)am V.

II.2. 0 = 0a1 +…+0am V.

2)Очевидно, а1 = 1 а1 + 0 а2 +…+ 0 аm V. Аналогично,

а2,…, аm V.

3)Пусть подпространство W а1, а2 ,…, аm все

α1a1 +…+αmam W V W.

Следовательно, V – наименьшее подпространство, содержащее векторы а1, а2 ,…, аm V = <а1,…,аm>.

Определение. Если V = <а1,…,аm>, то векторы а1,…,аm называются образующими подпространства V.

В этом случае любой вектор из V представляется в виде линейной комбинации системы образующих. Если к тому же векторы а1,…,аm линейно независимы, то такое представление однозначно, и система образующих является базисом линейного пространства V.

Лекция 15.

Определение. Рангом системы векторов {а1,…,аm} назы-

вается число rg {а1,…,аm} = dim<а1,…,аm>.

По аналогии с элементарными преобразованиями строк

65

матрицы или системы линейных уравнений (см.4.2) опреде-

лим элементарные преобразования (ЭП) системы векторов

S = {а1,…,аm}.

Определение. Будем говорить, что система векторов S′ получается из системы векторов S элементарным преобразо-

ЭП−I

ванием I-го типа (S → S′), если i-й вектор системы S′ получается прибавлением к i-му вектору системы S j-го вектора системы S, умноженного на коэффициент с Р (j≠ i). А все остальные векторы системы S′ совпадают с соответствующими векторами системы S.

При элементарном преобразовании II-го типа в системе S меняются местами i-й и j-й векторы.

При элементарном преобразовании III-го типа в системе S i-й вектор умножается на коэффициент с Р, с ≠ 0.

Если координаты системы векторов записывать по строкам матрицы, то при элементарных преобразованиях системы векторов происходят такие же элементарные преобразования со строками матрицы.

ЭП ЭП

Упражнение. Доказать, что если S → S′, то S′ → S, причем обратное ЭП - того же типа.

Докажем, что при элементарных преобразованиях не меняется линейная оболочка системы векторов и, следователь-

ЭП

но, ранг системы векторов, то есть если S →S′, то <S>=< S′>

и rg S = rg S′.

ЭП

Утверждение. Если S → S′, то < S′> <S>.

Доказательство. Так как S′ содержится в подпространстве <S>, то подпространство <S′>- наименьшее подпространство, содержащее S′- содержится в <S>, то есть < S′> <S>.

есть < S> <S′>, и значит, <S>=< S′>, и rg S = rg S′.

Покажем, как находить ранг системы векторов S. Пусть

S = {а1,…,аm}, и в координатах ai = (ai1,…,ain), i =1,…,m.

66

Запишем координаты векторов из S по строкам матрицы A, и будем делать над этими строками элементарные преобразования так (см. 4.2), чтобы привести эту матрицу к ступенчатому виду

Полученную соответствующую систему векторов обозначим

висимы. Пусть β1a1 +... + βr ar = 0 . Приравнивая координаты

с номером k1 в левой и правой частях равенства, получим β1a1,k1 = 0 β1= 0. Затем приравняем координаты с номером

k2 в левой и правой частях равенства и получим β2a2,k2 = 0

β2= 0. Далее переходим к координате с номером k3 и т.д. Таким образом, мы получим, что β1=…=βr = 0, векторы a1,..., ar

линейно независимы, то есть являются базисом в < S > и в

<S>. И значит, dim<S>= dim< S >= rg S = rg S = r.

Отсюда следует корректность определения ранга в 4.2 – так как r = dim<S>, то r не зависит от способа приведения матрицы к ступенчатому виду.

67

7.5. Теорема Кронекера-Капелли.

тор из правой части системы. Тогда наша система может

быть записана в виде одного векторного уравнения А1х1 + А2х2 +…+ Апхп= В. Очевидно, решение этого вектор-

ного уравнения существует тогда и только тогда, когда век-

тор В является линейной комбинацией векторов А1,…,Ап

В <А1,…, Ап> <В, А1,…, Ап> <А1,…, Ап> <В,А1,…,Ап>=<А1,…,Ап> dim<В, А1,…,Ап>= dim<А1,…,Ап>rg{В,А1,…,Ап} = rg{А1,…,Ап} rg A = rg A - ранг основ-

ной матрицы системы (4.1) по столбцам равен рангу расширенной матрицы. Этим мы закончили ещё одно продвинутое (сравните с 4.3) доказательство теоремы Кронекера-Капелли. Далее мы увидим, что ранги матрицы по столбцам и по строкам совпадают.

7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.

Мы рассматривали задание подпространств в L в виде линейных оболочек систем векторов. Рассмотрим второй способ задания подпространств. Пусть е = {e1,…,еn} – базис пространства L, α1,…,αп фиксированные элементы из P.

Утверждение. Подмножество

L1 = {x = x1e1+…+ xnеn L |α1x1 +…+αnxn = 0} является подпространством в L.

Доказательство. I. Пусть x = x1e1+…+ xnеn, у = у1e1+…+ + уnеn L1 α1x1 +…+αnxn = 0, α1у1 +…+αnуn = 0

68

α1(x1+у1)+…+αn(xп+уп)=0, α1αx1+…+αnαxn=0 х+у, αx L1. II. 2. Очевидно, 0L= 0e1+…+ 0еn L1, так как α10 +…+αn0= 0.

Упражнение. Доказать, что не является подпространст-

вом в L подмножество {x= x1e1+…+xnеn L |α1x1+…+αnxn=1}.

Пусть Li={x=x1e1+…+xnеn L|αi1x1+…+αinxn=0}, i =1,…,m.

Тогда подпространство ∩Li задается однородной системой линейных уравнений

Это второй способ задания подпространств в L.

Пусть L=PnP . Тогда множество решений системы (7.1) является подпространством в PP п. Найдем базис и размерность этого подпространства. С помощью элементарных преобразований приведем систему (7.1) к ступенчатому виду. Для простоты будем считать, что x1,…, xr – главные неизвестные,

Будем придавать набору (п – r) свободных неизвестных зна-

чения (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1).

После этого главные неизвестные находятся однозначно, и мы получим набор из (п – r) частных решений однородной СЛУ f1 = (*,*,…,*,1,0,0,...,0,0), f2 = (*,*,…,*,0,1,0,...,0,0),…, fn-r= (*,*,…,*,0,0,...,0,0,1), где звездочкой * обозначены какието значения главных неизвестных. Покажем, что f1, f2 ,…,fn-r - базис в пространстве решений СЛУ (7.1). Во-первых, строки

69

f1, f2,…,fn-r – линейно независимы. Это доказывается так же,

как линейная независимость строк матрицы A из 7.4. Вовторых, любое решение СЛУ (7.1) является линейной комбинацией решений f1, f2 ,…, fn-r . В самом деле, если решение

системы f = (с1,…,сr+1,..., сn), то линейная комбинация решений f0 = f - сr+1 f1 - ... - сn fn-r принадлежит пространству решений, причем f0 = (*,…,*,0,…,0), то есть у f0 все свободные

неизвестные равны нулю. Тогда, решая СЛУ (7.2), получим, что все главные неизвестные у f0 также равны нулю, то есть

f0 = 0, f - сr+1 f1 - ...- сn fn-r = 0 f = сr+1 f1 +...+сn fn-r . Таким образом, f1, f2 ,…,fn-r - базис в пространстве решений СЛУ

(7.1), и размерность пространства решений равна (п – r). Определение. Базис в пространстве решений однородной

системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений (сокращенно ФСР).

Так как базисы в пространствах выбираются неоднозначно, то и ФСР выбираются неоднозначно. Мы показали, что f1, f2 ,…,fn-r – ФСР для СЛУ (7.1). Любое линейно независимое семейство из (п – r) решений также является фундаментальной системой решений.

Лекция 16.

8.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

8.1.Определение ранга матрицы через миноры.

Определение. Будем говорить, что для (m,n)-матрицы А

ранг rk A= r , если все миноры в А порядка (r+1) равны нулю, и существует минор порядка r, который не равен нулю.

Упражнения.

1.Доказать, что если rk A = r , то все миноры в А порядка s, s > (r+1), равны нулю.

2.Доказать, что rk A = 0 A = 0.

3.Доказать, что rk A = 1 в А ненулевая строка, а все остальные строки ей пропорциональны.

70