Элтех_ДЗ

3. Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока

Методические рекомендации по выполнению задания

1. Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени

a(t) = Am sin(ωt + ψa ) ,

где Аm − максимальное значение или амплитуда; (ωt+ψa) − фаза (фазовый угол); ψa − начальная фаза (начальный фазовый угол); ω − угловая частота

[рад/c].

Период T [c] , угловая частота ω и частота f [Гц] связаны соотношением ω=2π f = 2Tπ ; f = T1 .

По приведенному уравнению можно построить синусоиду и соответст- вующую векторную диаграмму, которая получается с учетом того, что мгно- венные значения а – это проекция вращающегося вектора Аm на ось мнимых

чисел.

Аналитически этот вращающийся вектор записывается как

Таким образом, а(t)=Аm sin(ωt + ψа) = Im[ Аm e jωt].

−

Метод представления синусоидальных функций времени изображениями в виде векторов на комплексной плоскости называется символическим методом или методом комплексных амплитуд.

При необходимости можно оперировать комплексным действующим зна- чением A = Am / 2 с учетом того, что действующее значение A = Am / 2 .

2. Комплексные числа. Комплексное число, соответствующее точке, в ко- торой лежит конец вектора Аm, может быть написано в следующих формах

-алгебраической Am = p + jq = Am (cosψa + jsin ψa );

51

Am = p + jq = Am e jψa .

j = -1 = e jπ2 – мнимая единица или оператор поворота на угол π2 = 900 ;

Умножение комплексного числа Am на число e jα сводится к повороту век- тора Am в комплексной плоскости на угол a: Am e jα = Ame jψ a e jα = Ame j(ψ a +α ) . При a>0 вектор Am поворачивается против часовой стрелки, при a<0 – по часовой стрелке.

3. Источник напряжения с ЭДС e(t) = Em sin(ωt + ε)

можно полностью охарактеризовать, задав комплексную ам-

4. Пассивный элемент электрической цепи определяет-

ся комплексным сопротивлением Z = ze jϕ - комплексным числом,

равным отношению комплексного напряжения на зажимах дан-

ного элемента к комплексному току этого элемента

Z = UI = R + jX = Ze jϕ ,

Где U и I – комплексные действующие значения напряжения и тока;

R – вещественная часть комплексного сопротивления Z или активное сопротивление цепи;

X – мнимая часть Z или реактивное сопротивление цепи, составленное из индуктивного X L = ωL и емкостного XC = 1/ ωC сопротивле-

ний;

Z – модуль комплексного сопротивления цепи или полное сопротивле- ние цепи;

j – аргумент Z , равный углу сдвига фаз между током и напряжением.

52

Отношение комплексного тока в данной цепи к комплексному напряже-

нию на её зажимах называется комплексной проводимостью электрической цепи

Y = UI = G − jB = Ye− jϕ = Z1 .

Таким образом, от комплексного сопротивления Z можно всегда перейти к

6. Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, имеет вид

U=Uab = I × Z .

7.Законы Кирхгофа. Для записи уравнений на основании законов Кирх-

гофа надо выбрать положительные направления для всех токов и обозначить их на схеме.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме в применении к узлу элек-

трической цепи имеет вид

n

åIk = 0 ,

k=1

При записи этого уравнения токи, направленные к узлу, следует записать со знаком плюс, а направление от узла – со знаком минус (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа применяется к замкнутому контуру цепииимеетвид

n

где åEk – алгебраическая сумма комплексных ЭДС источников напряже-

k=1

ния. Со знаком плюс записываются те из них, положительные направле- ния которых совпадают с выбранным направлением обхода контура; ЭДС, имеющие направления, противоположные обходу контура, записы- ваются со знаком минус;

n

åIk Z k – падения напряжений на комплексных сопротивлениях Zκ от-

k=1

дельных участков. Со знаком минус берутся те, для которых направление тока противоположно направлению обхода контура.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выби- рать независимые контуры, не содержащие источников тока.

8. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений. При последовательном соединении участков цепи комплексное эквивалентное со-

противление равно сумме комплексных сопротивлений отдельных участков

n

Z = åZ k

k=1

53

При параллельном соединении ветви цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей

n

Y = åY k

k=1

В частном случае двух параллельно соединенных сопротивлений Z1 и Z2

эквивалентное комплексное сопротивление

Комплексные токи, протекающие в каждой из двух параллельных ветвей, могут быть рассчитаны через комплексный ток I в неразветвленной части цепи

Q = Im[S] = UI sin ϕ – реактивная мощность; I – сопряженный комплекс тока;

j–угол сдвига фаз междутокоминапряжением.

10.Баланс мощностей

здесь åEk I k = S – алгебраическая сумма мощностей всех источников ЭДС;

k=1

положительны те из слагаемых, для которых направление действия ЭДС Ek и соответствующего тока Ik через ЭДС совпадают, в противном слу-

чае слагаемое отрицательно;

åIk 2rk = P – алгебраическая сумма мощностей на активных сопротив-

лениях; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии;

ных сопротивлениях.

11. При расчете цепей переменного тока посредством комплексных чисел остаются справедливыми все методы расчета, применяемые для расче-

та цепей постоянного тока. При этом во всех уравнениях, приведенных в раз- деле 1, все ЭДС, напряжения, токи, сопротивления и проводимости должны быть записаны в комплексной форме.

54

Дано: uRC (t) = 22,64sin(100t - 82o ) [В]; R=4 Ом; L = 70 мГн; C = 2500 мкФ.

Найти: неизвестные токи, напряжения, проверить соблюдение баланса мощно- стей.

Решение:

Определяем реактивные сопротивления элементов цепи и представляем их, а также заданное мгновенное значение uRC (t) , комплексными числами

Все элементы цепи соединены последовательно, поэтому через них течет одинаковый ток I m . Тогда напряжения на них выразим как

К аналогичному результату можно прийти, используя при решении II за- кон Кирхгофа. Для контура «К»

Em = U mL +U mRC = 28e j53o + 22,64e− j82o =16,85 + j22,36 + 3,15 - j22,42 = = 20 − j0,06 ≈ 20 [В].

55

Рассчитаем действующие значения токов и напряжений

I = Im / 2 = 4/ 2 = 22 [А]; UL =UmL / 2 = 28/ 2 =142 [В]; UR =UmR / 2 =16/ 2 = 82 [В]; UC =UmC / 2 = 82 [В];

E = Em / 2 = 20/ 2 =102 [В].

Активную или среднюю мощность, потребляемую цепью, можно рассчи-

тать с учетом действующего значения тока

P = I 2R = Im2 R2 =16 × 42 = 32 [Вт].

Реактивная мощность, запасаемая цепью

Векторная диаграмма, которая соответствует расчетным значениям, при- ведена ниже (по ней можно проследить выполнение II закона Кирхгофа).

Запишем комплексы амплитудных значений тока и напряжений в виде мгновенных значений

i(t) = 4sin(100t - 37o ) [A]; uC (t) =16sin(100t -127o ) [В];

uR (t) =16sin(100t - 37o ) [В]; uL (t) = 28sin(100t + 53o ) [В]; e(t) = 20 [В].

Изобразим эти переменные на временной плоскости

uR(t)

i(t)

t,c

0

20

56

ЗАДАЧА 3.2

Дано: uab(t) = 10 sin(100t− 90° ) [B]; R = 1 [Ом]; L = 0,01 [Гн]; C = 0,01 [Ф].

Найти: неизвестные токи, напряжения, проверить соблюдение баланса мощностей.

Решение:

Представляем сопротивления элементов и мгновенные значения e(t), u(t), i(t) комплексными числами и рисуем схему замещения, заменяя элементы их

комплексными сопротивлениями

Решение с помощью закона Ома

Поскольку нам известно напряжение U mab , найдем ток I m1 на этом участке через сопротивление Z ab

Учитывая, что U mab = U mR = U mC , можно определить токи через R, C

Зная ток I m1 через ЭДС, можно определить ее величину

Em = I m1 Z Э = =14,14e− j 45o 0,707e j45o =10.

Напряжение U mL также находится через ток на индуктивности I m1

U mL = I m1 ×jХL =14,14e-j4574×j1= 14,14ej45° ; j1=e j90°.

Записываем мгновенные значения величин, не забывая о ранее опущенном опе- раторе e j100t

i1(t) = Im[ I m1 ej100t ] = Im[14,14e-j45°ej100t] = 14,14 sin(100t− 45° ) [A];

57

i2(t) = Im[ I m2 ej100t ] = Im[10e-j90°ej100t] = 10sin(100t− 90° ) [A]; i3(t) = Im[ I m3 ej100t ] = Im[10ej0ej100t] = 10 sin(100t ) [A];

uR(t) =uC(t) =uab(t)= Im[U mab ej100t ]=Im[10e-j90°ej100t] =10 sin(100t− 90°) [B]. uL(t) = Im[U mL ej100t ] = Im[14,14ej45°ej100t] = 14,14 sin(100t+ 45° ) [B].

e(t) = Im[ Em ej100t ] = Im[10ej100t] = 10 [B].

Векторную диаграмму предпочтительно строить в такой последовательности:

Из данного построения следует выполнение законов Кирхгофа для узла b и для контура к1 , что говорит о правильности решения. Масштаб: AB = 10[B] или 10[A].

Решение задачи с помощью законов Кирхгофа Как и в предыдущем методе, перерисовываем схему, представляя элемен-

ты их комплексными сопротивлениями. Количество уравнений должно рав- няться количеству неизвестных. В данной задаче неизвестными являются токи

Все неизвестные переносим влево, а известные – вправо

I m1 - I m3 + 0 × Em = I m2 ; Z L I m1 - Em = -RI m2 ;

0×I m1 + ZC I m3 + 0×Em = RI m2 .

Подставив значения величин в систему уравнений, записываем ее в мат-

ричной форме

58

Решая систему, находим I m1 =14,14e− j 45o ; I m3 = 10; Em = 10.

Проверим решение с помощью баланса мощностей. Для этого найдем мощность источника ЭДС, представив в алгебраической форме записи ком-

плексного числа

S = Em I* m1/ 2 = (10×14,14e j 45o ) / 2 = 70,7e j45o = 50 + j50

Активную и реактивную мощности найдем через токи на соответствующих элементах

Таким образом, мы получили тождество S = P + jQ , что свидетельствует о выполнении баланса мощностей.

59

ЗАДАНИЕ 3.1

Последовательная цепь переменного тока (схема 1 и 2 на рис. 3.1) состав- лена источником ЭДС, резистивным, индуктивным и ёмкостным элементами, параметры которых указаны в таблицах 3.1.1 … 3.1.4.

1.Рассчитать комплексные амплитуды ЭДС источника, тока и напряжений на элементах; одна из перечисленных величин задана в функции времени.

2.Определить мгновенные значения тока и напряжений.

3.Определить действующие значения тока и напряжений.

4.Определить активную, реактивную и полную мощности. Убедиться в том, что выполняется баланс мощностей.

5.Построить в масштабе векторную диаграмму тока и напряжений для ам- плитудных значений величин.

6.Представить ток и напряжения графически в подходящем масштабе.

60